专题一：匀变速直线运动的三个重要推论
一．在匀变速直线运动中，连续相等时间T内的位移之差等于一个恒量，即
?x?aT2(又称匀变速直线运动的判别式)。
证明：设物体以初速度v0，加速度a做匀变速直线运动，如图所示。
v0
xⅠ
T x1 x2 xⅡ
T xⅢ T x3 第1个T内的位移：
1 xⅠ=x1?v0T?aT2 2
第2个T内的位移：
113
xⅡ=x2?x1?[v0(2T)?a(2T)2]?(v0T?aT2)?v0T?aT2?xⅠ+aT2 222 或
13 xⅡ=(v0?aT)T?aT2?v0T?aT2?xⅠ+aT2 22
第3个T内的位移：
115 xⅢ=x3?x2?[v0(3T)?a(3T)2]?[v0(2T)?a(2T)2]?v0T?aT2=xⅡ+aT2 222
或
15
xⅢ=(v0?2aT)T?aT2?v0T?aT2?xⅡ+aT2 22 依此类推： xn=xn-1+aT2
因此：连续相等时间内的位移之差为
Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=……=xn-xn-1=aT2
即
Δx=aT2
由此还可推导： xn+m=xn+maT2
x?xx?x?xx?x a?2?n?12n?n?22n?…=n?m2n
mTTT2T
例1.一个物体做匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔4s内，通过的位移分别为24m和64m，求物体的初速度和加速度。 解:设物体的初速度v0，为加速度为a，如图
a v0
x1?24m x2?64m
T?4s T?4s
方法一：
121 x1?v0T?aT2 即 24=4v0+a4 22
整理得：v0?2a?6……①
1
x2?v0(2T)?a(2T)2?x1 即 64=8v0?32a?24 2 整理得：v0?4a?11……②
或
1212a4 即 64=（×4+v?4a)x?(v?aT)T?aT 02022
整理得：v0?6a?16……③
由①②或①③解得： v0?1m/s a?2.5m/s2
方法二：
x?x64?242 2 a?221?m/s=2.5m/s
T42
1 x1?v0T?aT2 即 24=4v0?1×2.5×42 2 2
解得: v0?1m/s
二．做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度v?证明：作物体的v-t图像，如图所示。 由面积=位移的大小知：
x?S?(v0?v)t 2xv0?v?。 t2v v v0 0 又x?vt 得：v?v0?v（只适用于物体做匀变速直线运动） 2t t 例2.如图所示为A、B、C三物体的v-t图像，则关于三物体在时间t内的
平均速度的说法正确的是（ ）
v?vv?vA.vA ＜0 B.vB?0
22v?vC.vC ＞0 D.vA ＞vB＞vC
2v v
A B C v0 0 解析：面积=位移的大小，B做匀加速直线运动,
t t v0?v所以vB?，在时间t内A的位移大于B的位移、C的位移小于B的位移，
2由v?v?vx知，vA＞vB?0t2，vC＜vB?v0?v，故B、D正确。 2练习1.汽车从A点由静止开始沿直线ABC做匀变速直线运动，第4s末通过
再经6s到达C点停止运动，总位移是30m，B点时关闭发动机做匀减速直线运动，
则下列说法正确的是（ ）
A.汽车在AB段与BC段的平均速度相同 B.汽车通过C点时速的度为3m/s C.汽车通过C点时速的度为6m/s D.AB段的位移为12m
三．做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度vt等于
2v0?v 。 v?v?t这段时间内的平均速度v，即 22证明：方法一 ：公式法 v?v0?at……① tvt?v0?a……② 22
由①得at?v?v0代入②得 v?v vt?0
22
方法二：图像法
v v v v vt vt
22 v0 v0 0 tt0 t t t t
22 匀加速 匀减速 v?v。 vt是以v0和v为两底边的梯形的中位线，因此vt?0 222
四．做匀变速直线运动的物体，在某段位移的中间位置的瞬时速度 2v0?v2vx? 。 22
证明：
2 v2?v0?2ax……①
x22……② v?v?2ax0 222 v2?v0代入②得 由①得：ax?
2 2v0?v2 vx?
22
思考：做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度vt与
2该段时间内的位移的中间位置的瞬时速度vx的大小关系怎样？
2
＜0
∴vt＜vx
22
方法二：图像法
v v v0 v vx vx
22 vt vt 22 v0 v
tt0 0 t t t t 22
匀减速 匀加速
面积=位移的大小，vt＜vx。
22
例3.做匀变速直线运动的物体，在8s内先后通过a、b两点，已知a、b两点相距100m，则物体通过a、b中点时的速度大小为（ C ）
解：方法一:
22v0?v2v0?v2v0?2v0v?v2(v0?v)222 vt?vx?()?????224422
A.小于12.5m/s B.等于12.5m/s C.大于12.5m/s D.以上均有可能 解析：
x100 m/s=12.5m/s vx＞vt?v??t8 22
练习2.从斜面上某位置，每隔0.1s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示。现测得xAB?15cm,xBC?20cm,试求：
a （1） 小球的加速度a； B C （2） 拍摄时B球的速度vB；
D （3） 拍摄时xCD；
（4） 小球A的上方还有几颗正在滚动的小球。
解：
xBC?xAB(20?15)?10?222
?（1）a?m/s=5m/s 22T0.1(2)B点速度等于AC段的平均速度，则
xAB?xBC(15?20)?10?2vB??m/s=1.75m/s
2T2?0.1(3)由?x?xBC?xAB?xCD?xBC得：
xCD?2xBC?xAB?2?20?15(cm)=25cm
(4)拍摄时vA?vB?aT?1.75-5×0.1(m/s)=1.25m/s 则A球从被释放到获取1.25m/s的速度需时tA?tA0.25??2.5个 T0.1vA1.25?s=0.25s a5∴n?故A球上方还有2颗正在滚动的小球（第3颗小球还未释放）。
五.初速度为零的匀加速直线运动的几个比值。 1.研究初速度为零的匀加速直线的基本公式：
1 ①vt =at ②x= at2 ③2ax=vt2
2 2.几个比值
（1）1T末、2T末、3T末...瞬时速度之比为v1∶v2∶v3=1∶2∶3... 可由vt=at直接导出