2010高考数学萃取精华30套（3）
1．泉州模拟
21．（本小题满分12分）
过抛物线x2?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)2?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由。
2x12x2解法（一）：（1）设A(x1,),B(x2,),(x1?x2)
442由x?4y,得：y?'x 2?kPA?x1x,kPB?2 22?PA?PB?0,?PA?PB,?x1x2??4………………………………3分
x12x1x1xx12?(x?x1)即y??直线PA的方程是：y? ① 42242x2xx2? ② 同理，直线PB的方程是：y?24x1?x2?x??2由①②得：?(x1,x2?R) x1x2?y???1,4?∴点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分
2x?xx12x2?1),FB?(x2,?1),P(12,?1) （2）由（1）得：FA?(x1,244FP?(x1?x2,?2),x1x2??4 222x12x2x12?x2FA?FB?x1x2?(?1)(?1)??2? …………………………10分
444
- 1 -
2(x1?x2)2x12?x2(FP)??4??2
442所以FA?FB?(FP)2?0
故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA?PB?0, ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA?PB, 设PA的直线方程是y?kx?m(k,m?R,k?0)
由??y?kx?m2x?4kx?4m?0 得：2?x?4y???16k2?16m?0即m??k2…………………………3分
即直线PA的方程是：y?kx?k2 同理可得直线PB的方程是：y??11x?2 kk1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x????y??1kk2?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分 （2）由（1）得：A(2k,k),B(?2211,2),P(k?,?1) kkk21FA?(2k,k2?1),FB?(?,2?1)
kk1FP?(k?,?2)
k11FA?FB??4?(k2?1)(2?1)??2?(k2?2)………………………………10分
kk11(FP)2?(?k)2?4?2?(k2?2)
kk故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）
设函数f(x)?1?x?lnx在[1,??)上是增函数。 ax（1） 求正实数a的取值范围；
- 2 -
（2） 设b?0,a?1，求证：解：（1）f(x)?'1a?ba?b?ln?. a?bbbax?1?0对x?[1,??)恒成立， 2ax?a?又
1对x?[1,??)恒成立 x1?1 ?a?1为所求。…………………………4分 xa?ba?b?1， （2）取x?，?a?1,b?0,?bb1?x?lnx在[1,??)上是增函数， 一方面，由（1）知f(x)?axa?b?f()?f(1)?0
ba?b1?b?lna?b?0 ?a?bba?ba?b1?即ln……………………………………8分 ba?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)
G'(x)?1?1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0
a?ba?b?ln bb1a?ba?b?ln?.………………………………………………14分 综上所述，
a?bbb∴x?lnx 即
2．扬州二模
20．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点． y(1) 求双曲线E的方程； (2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与A双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、????????N，且MP??PN，问在x轴上是否存在定点BODCx - 3 -
?????????????G，使BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
x2y2解：(1) 设双曲线E的方程为2?2?1(a?0,b?0)，
ab则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．
由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a．
?|AB|2?|AC|2?16a2,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?yA （3分）
BODCx解之得a?1，∴c?2,b?3．
y2∴双曲线E的方程为x??1． （5分）
3?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)．
设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． ????????由MP??PN，得y1??y2?0．
y即???1 ① （6分）
y2????∵BC?(4,0)， ?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)． 即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② （8分） 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0 ③ （9分）
2yBOGCPNxy?1并整理得 3(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0
1其中3k2?1?0且??0，即k2?且3k2?m2?1．
3?6km3(m2?1) y1?y2?2． ,yy1?23k?13k2?1把x?m?ky代入x2?代入③，得
2M （10分）
6k(m2?1)6km(m?t) ??0，
3k2?13k2?1化简得 kmt?k． 当t??????????????1因此，在x轴上存在定点G(,0)，使BC?(GM??GN)． （12分）
m21．(本小题满分14分)
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan2n1?C1na1?Cna2???Cnan（p为大于1的常数），记f(n)?．
2nSn1时，上式恒成立． m
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(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
① ②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1．
即an?1?pan．
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn． (2) 由(1)可得
p(1?pn)p(pn?1)Sn??．
1?pp?12n122nnnn1?C1na1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)． 2n1?C1p?1(p?1)nna1?Cna2???Cnan??∴f(n)?，
p2n(pn?1)2nSn （4分）
（5分）
p?1(p?1)n?1?f(n?1)?． p2n?1(pn?1?1)p?1p?1(p?1)n?1f(n)??而，且p?1， 2pp2n?1(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0．
p?1f(n)，∴f(n?1)?（n?N*）． （8分） 2pp?1p?1f(n)，(3) 由(2)知 f(1)?，f(n?1)?（n?N*）．
2p2pn…2∴当时，
p?1p?12p?1n?1p?1nf(n)?f(n?1)?()f(n?2)???()f(1)?()．
2p2p2p2p?p?1?p?1?p?1?∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?????????
2p?2p?2p??2n?1p?1??p?1????1?? ??， p?1?2p?????（当且仅当n?1时取等号）．
另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时， p?1?(p?1)k(p?1)2n?k?f(k)?f(2n?k)????
p?2k(pk?1)22n?k(p2n?k?1)?22n?1（10分）
p?1(p?1)k(p?1)2n?k …?2kk?2n?k2n?kp2(p?1)2(p?1)
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