p?12(p?1)n??p2np?12(p?1)n??p2n1 (pk?1)(p2n?k?1)1．
p?p?p2n?k?12nk∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2． p?12(p?1)n??2f(n)， ∴f(k)?f(2n?k)…p2n(pn?1) （13分）
（当且仅当k?n时取等号）． 2n?12n?112n?1∴?f(k)??[f(k)?f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)．
2k?1k?1k?1（当且仅当n?1时取等号）． 综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?12n?1p?1??p?1???1??（n?N*）．（14分） ??，p?1?2p?????3．北京朝阳二模
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双
曲
线
C
：
x2y2?2?1(a?0，b?0)的右准线l1与一条渐近2ab线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
?? （I）求证：OM?MF；
? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、
6，2??Q且P在A、Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明。
解：（I）
ba2 ?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x
aca2ab222 ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b
cc?a2ab ?OM?(，)
cc
- 6 -
?a2abb2ab，?)?(，?) MF?(c?cccc??a2b2a2b2?2?0 ?OM?MF?2cc （II）?e????OM?MF
……3分
6b2，??e2?1?，?a2?2b2 2a2?b4a2b2b2(b2?a2)?|MF|?1，?2?2?1，??1 ccc2?b2?1，a2?1x2?y2?1 ?双曲线C的方程为：2 （III）由题意可得0???1
……7分 ……8分
证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)
?x2?2y2?2 由?得(1?2k2)x2?4kx?4?0
?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
?1?2k2?0?22??16k?16(1?2k)?0?? ??x?x?4k?0121?2k2??4xx???0?1221?2k? ??1?k???2?k??2??2 ??k?1?k?0?2?1?2k?0? ……11分
2 2
?? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2
4k42，?x??21?2k21?2k2
(1??)216k24k22???2?2?22??4(1?2k)2k?12k?1?(1??)x2?2(1??)22，?0?2k?1?1，??4 ??1?k??2?
- 7 -
?(1??)2?4???2?2??1?0
……13分
??的取值范围是（0，1）
（20）（本小题满分13分）
(x?0)?0 已知函数f(x)???n[x?(n?1)]?f(n?1){an}满足an?f(n)(n?N*)
（I）求数列{an}的通项公式；
(n?1?x?n，n?N*)，数列
（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为
S(a)(a?0)，求S(n)?S(n?1)(n?N*)；
（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求
n??出这个极限值。 解：（I）?n?N*
?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n
……1分
?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2
f(3)?f(2)?3 ……
f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1)
?f(n)?2
- 8 -
n(n?1)(n?N*) ……3分 2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底
?an?边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1 ?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?1)?f(n)?1?n?1
22
……6分
1n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[
2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n2n?1005???1005?n?2010
222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?……9分
2111?2(?) ，即bn?n(n?1)nn?1an11111111)?(?)?(?)???(?)]?2(1?) 22334nn?1n?11]?2 ……10分 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?n??n??n?1 则b1?b2???bn?2[(1?n1n?n1cn?1 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?q(0?|q|?1)等都能使
2an2a2an??lim(b1?b2???bn)存在。
- 9 -