2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案
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北 京 交 通 大 学
2013~2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）
试卷
参 考 答 案
一．（本题满分8分）
将三封信随机投入编号为1、2、3、4的四个信箱，记X为1号信箱内信的数目，Y表示有信的信箱数目，求：二维随机变量?X，Y?的联合分布律（5分）及随机变量X与Y各自的边缘分布律（3分）． 解：
X的可能取值为0，1，2，3；Y的可能取值为1，2，3． ?X，Y?的联合分布律以及X与Y各自的边缘分布律为
Y X 0 1 2 3 1 2 3 pi? 27642764964164 3 640 0 18 649 649 640 6 6418 640 0 p?j 二．（本题满分8分）
1 644 6436 6424 64 设二维随机变量?X，Y?的联合密度函数为
?cx2yf?x，y????0x2?y?1
其它⑴ 试确定常数c（4分）；⑵ 求随机变量X的边缘密度函数fX?x?（4分）．
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解：
???? ⑴ 1?所以，c???????f?x，y?dxdy??dx?cx2ydy??1x2114c 2121 ． 4 ⑵ 当?1?x?1时， fX?x???????f?x，y?dy?2122124 xydy?x1?x?248x1??因此，X的边缘密度函数为
?212?x1?x4fX?x???8?0????1?x?1其它
三．（本题满分8分）
某人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他逐个试开，试过的不再重试．令X表示试开次数，求随机变量X的数学期望E?X?（4分）与方差D?X?（4分）． 解：
随机变量X的取值为1,2,?,n，并且
P?X?k??nn1，?k?1,2,?,n?． n11n1n?n?1?n?1 E?X???k?P?X?k???k????k??， ?nnk?1n22k?1k?1
EX??211n21n?n?1??2n?1??n?1??2n?1?， ??k?P?X?k???k????k???nnn66k?1k?1k?1n2n2所以，
2????n?12n?1n?1n2?1??2． D?X??E?X???E?X???????26?2?12四．（本题满分8分） 设随机变量X~N??,?2?，再设Y?X??．求随机变量Y的数学期望E?Y?（4
分）与方差D?Y?（4分）．
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解：
随机变量X的密度函数为fX?x????1e2????x???22?2，????x????．
???1 所以，E?Y??E?X?????x??fX?x?dx?2?????x???22?2???x??edx
?令u?22??????x???e???x???22?2d，x
x???，则du?dx?，代入上式，得
?u22 E?Y??22?????ue0du??2?e2??u22???02??，
E?Y2??E?X????D?X???2，
2所以，D?Y??EY2??E?Y??五．（本题满分8分）
??2?2?2????2???2???1???． ????????2 设甲、乙两种电器的使用寿命X与Y都服从指数分布，其密度函数分别为
??e??xfX?x????0??e??yx?0 与 fY?y???x?0?0y?0 y?0其中??0，??0都是参数．并且X与Y相互独立．试求甲种电器的使用寿命不超过乙种电器的使用寿命的概率． 解：
因为随机变量X与Y相互独立，所以?X,Y?的联合密度函数 f?x,???e???x??y?x?0,y??fX?x?fY?y???其它?0y?0 ．
所求概率为P?X?Y?，则有 P?X?Y????x?y??f?x,y?dxdy??dx???e???x??y?dy
0x????????x????y ????e0dx?exdy???e0??x??e???y??xdx???e??????xdx
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????????e??????x0?????．
六．（本题满分8分）
某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件．现从中抽取一件产品，记
?1若抽到为二等品?1若抽到为一等品 Y?? X??其它其它?0?0试求X与Y的相关系数?，并判断X与Y是否相互独立？ 解：
?X，Y?的联合分布律及各自的边缘分布律为
Y X 0 1 pi? 0 1 0.1 0.7 0.2 0 0.3 0.7 p?j 0.8 0.2 所以，E?X??0.7，D?X??0.21，E?Y??0.2，D?Y??0.16 ． 又 E?XY??0，
所以，cov?X，Y??E?XY???E?X???E?Y????0.14 ??cov?X，Y??0.14???0.763 8，
DXDY0.210.16由于??0，所以随机变量X与Y相关，从而随机变量X与Y不独立．
七．（本题满分8分）
E?X??2，E?Y??3，D?X??4，D?Y??16，E?XY??14， 设随机变量X与Y满足：
试用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计概率P3X?2Y?3．
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解：
E?3X?2Y??3E?X??2E?Y??3?2?2?3?0，
?X,Y? D?3X?2Y??9D?X??4D?Y??2?3?2cov ?9?4?4?16?12??E?XY??E?X?E?Y?? ?36?64?12??14?6??4，
所以，由Chebyshev（切比雪夫）不等式，有 P?3X?2Y?3??P??3X?2Y??E?3X?2Y??3? ?D?3X?2Y?4?． 99八．（本题满分8分） 设随机变量X1,?,Xn相互独立，都服从区间?0,1?上的均匀分布，令 U?max?X1,?,Xn?，
求U的密度函数fU?x?（4分）以及E?U?（4分）． 解：
?10?x?1 Xi的密度函数为p?x???，
0其它??0x?0?分布函数为 F?x???x0?x?1 ．
?1x?1? 所以，随机变量U的密度函数为 p?U??x??n?F?x??所以，E?U??
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??n?1?nxn?10?x?1． p?x???0其它?11n?1??n??xpxdx?x?nxdx?nx??n???dx?00n． n?1