2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案
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九．（本题满分8分）
设随机变量X与Y相互独立而且具有相同的分布，其中X的分布律为
X P 0 1 2 1 31 31 3令：U?min?X,Y?，V?max?X,Y?．求二维随机变量?U,V?的联合分布律，以及
U与V各自的边缘分布律（6分）．并说明随机变量U与V是否相互独立（2分）．
解：
?U,V?的联合分布律以及U与V各自的边际分布律为
V U 0 1 91 2 91 92 2 92 91 95 9pi? 5 93 91 90 1 2 0 0 1 90 3 9p?j 11U?2,V?0??0?P?U?2?P?V?0???，所以，随机变量U与V不相由于P?99互独立．
十．（本题满分8分）
一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间?10，20?上的均匀分布，商店每售出一单位该商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商品可从其它商店调剂供应，这时每单位该商品可获利润500元，试求此商店经销该商品所得利润的数学期望． 证明：
由于X与Y相互独立，且都服从区间?10，20?上的均匀分布，所以?X，Y?的联合密度函数为．
?1?10?x?20，10?y?20f?x，y??fX?x?fY?y???100
?其它?0第 6 页 共 9 页
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再设Z为商店所得利润，则有
1000YX?Y? Z??
?1000X?500?Y?X?X?Y所以，E?Z????????????h?x，y?f?x，y?dxdy
1 ??10010202010?h?x，y?dxdy
20x2020?1??dx?1000ydy??dx?500?x?y?dy? ???? 100?101010x? ?20000?7500?14166.67 3十一．（本题满分8分） 向平面区域
D??x，y?：0?y?4?x2，x?0
内随机地投掷一点，即二维随机变量?X,Y?服从平面区域D上的均匀分布． ⑴. 试求二维随机变量?X,Y?的联合密度函数； ⑵. 点?X,Y?到y轴距离的概率密度函数；
⑶. 设?X，Y??D，过点?X,Y?作y轴的平行线，设S为此平行线与x轴、y轴以及曲线y?4?x所围成的曲边梯形的面积，求E?S?．
2?? 解：
⑴．平面区域D的面积为
2 A??4?x2dx?0??16 3所以，二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,?3?y???16??0?x，y??D
?x，y??D ⑵. 点?X,Y?到y轴距离的概率密度函数，即是分量X的边缘密度函数，
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当0?x?2时， fX?x???????f?x，y?dy?4?x2?033dy?4?x2 1616??所以，分量X的边缘密度函数为
?3?4?x2fX?x???16?0???0?x?2其它
⑶. 由题设，所作曲边梯形的面积为 S???0XX34?xdx?4X?
32?????X3?x3?所以，E?S??E??4X?3??????4x?3??fX?x?dx
???????x3?382? ??? 4x??4?xdx???1633?0?2??十二．（本题满分8分）
设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布N?0,1?．令随机变量
Z?X2?Y2．
试求随机变量Z的密度函数fZ?z?． 解：
由题意，得
fX?x??fy?y??12?12?e?x22 ????x???， ????y???．
e?y22 设随机变量Z?X2?Y2的分布函数为FZ?z?，则 FZ?z??P?Z?z??PX2?Y2?z
当z?0时，FZ?z??PX2?Y2?z?P????0；
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当z?0时，FZ?z??PX2?Y2?z?2????f?x?f?y?dxdy
XY2x?y?z ?x2?y2?z??1e2??x2?y22dxdy
y?rsin?，则有
z作极坐标变换x?rcos?,1 FZ?z??2?2?z?d??e00?r22rdr??e0?r22rdr
2?z?r??e2rdrz?022所以，随机变量Z?X?Y的分布函数为FZ?z???
0?0z?0???z?2所以，随机变量Z?X2?Y2的密度函数为fZ?z??FZ??z???ze??0十三．（本题满分4分）
设随机变量X与Y相互独立，都服从正态分布N??, 解：
2z?0 ．
z?0??1??．求数学期望EX?Y． 2? 因为随机变量X与Y相互独立，而且都服从正态分布，所以其差X?Y也服从正态分布．
而E?X?Y??E?X??E?Y??????0， D?X?Y??D?X??D?Y??因此，U?X?Y~N?0,1?． EX?Y?E?U??
11??1， 2212??????ue?u22du?22????ue0?u22du??2e2??u22???02?．
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