4a1?6d?8a1?4d???a1?(2n?1)?2a1?2(n?1)d?1,
解得,因此
a1?1,d?2 an?2n?1(n?N*)
Tn???n2n?1
n2n?1?n?12n?2
(Ⅱ)由题意知:
所以n?2时,
bn?Tn?Tn?1??故,
cn?b2n?2n?21n?1?(n?1)()*2n?1(n?N) 24
11111Rn?0?()0?1?()1?2?()2?3?()3?????(n?1)?()n?144444所以, 111111Rn?0?()1?1?()2?2?()3?????(n?2)?()n?1?(n?1)?()n44444 则4311111Rn?()1?()2?()3?????()n?1?(n?1)?()n44444 两式相减得411n?()1?44?(n?1)()n141?4 13n?1Rn?(4?n?1)94整理得
13n?1R?(4?)nn?1cn??94所以数列数列的前n项和
30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分
16分.设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和.记bn?为实数.
(1)若c?0,且b1，b2，b4成等比数列,证明:Snk?n2Sk(k,n?N); (2)若{bn}是等差数列,证明:c?0.
*nSn*,,其中cn?N2n?c【答案】证明:∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和
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∴Sn?na?n(n?1)d 2Snn?1?a?d (1)∵c?0 ∴bn?n2123d)?a(a?d) 2211111∴ad?d2?0 ∴d(a?d)?0 ∵d?0 ∴a?d ∴d?2a 24222n(n?1)n(n?1)∴Sn?na?d?na?2a?n2a
22∵b1，b2，b4成等比数列 ∴b2?b1b4 ∴(a?2∴左边=Snk?(nk)2a?n2k2a 右边=n2Sk?n2k2a ∴左边=右边∴原式成立
(2)∵{bn}是等差数列∴设公差为d1,∴bn?b1?(n?1)d1带入bn?nSn得: n2?cb1?(n?1)d1?nSn11?32 ∴对恒成立 n?N(d?d)n?(b?d?a?d)n?cdn?c(d?b)111111222n?c1?d??12d?0?1?∴?b1?d1?a?d?0
2??cd1?0?c(d?b)?0?11由①式得:d1?1d ∵ d?0 ∴ d1?0 2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a,bn?.
22由③式得:c?0
法二:证:(1)若c?0,则an?a?(n?1)d,Sn?当b1，b2，b4成等比数列,b2?b1b4,
2d?3d???2即:?a???a?a??,得:d?2ad,又d?0,故d?2a.
2?2???由此:Sn?n2a,Snk?(nk)2a?n2k2a,n2Sk?n2k2a. 故:Snk?n2Sk(k,n?N).
*2(2)bn?nSn?2n?cn2(n?1)d?2a2, 2n?c第 12 页 共 18 页
(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a?c?c222 ?2n?c(n?1)d?2ac(n?1)d?2a2. (※) ??22n?cn2若{bn}是等差数列,则bn?An?Bn型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2故有:,即,而≠0, ?0c?022n2?c故c?0.
c经检验,当c?0时{bn}是等差数列.
31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列?an?的前n项
和为Sn,已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求?an?的通项式.
【答案】
32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为
3的等比数列{an}不是2递减数列, 其前n项和为Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设Tn?Sn?【答案】
1(n?N*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn第 13 页 共 18 页
33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:sn?(n?n?1)sn?(n?n)?0
222(1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn?n?15*,数列{b n}的前n项和为Tn.证明:对于任意的n?N,都有Tn?2264(n?2)a222【答案】(1)解:由Sn?(n?n?1)Sn?(n?n)?0,得??Sn?(n?n)??(Sn?1)?0.
2由于?an?是正项数列,所以Sn?0,Sn?n2?n.
于是a1?S1?2,n?2时,an?Sn?Sn?1?n2?n?(n?1)2?(n?1)?2n. 综上,数列?an?的通项an?2n. (2)证明:由于an?2n,bn?n?1. 22(n?2)an则bn?n?11?11???. ?2222?4n(n?2)16?n(n?2)?第 14 页 共 18 页
Tn?1?111111111? 1??????…?????222222222?16?32435(n?1)(n?1)n(n?2)?
?1?111?115. 1????(1?)?222?216?2(n?1)(n?2)16264??2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n3334．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列?an?的前n项和为Sn.
已知a1?1,
(Ⅰ) 求a2的值;
(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有
【答案】.(1) 解:?
1117?????. a1a2an42Sn12?an?1?n2?n?,n?N?. n3312? 当n?1时,2a1?2S1?a2??1??a2?2
33又a1?1,?a2?4 (2)解:?
2Sn12?an?1?n2?n?,n?N?. n33n?n?1??n?2?12 ① ? 2Sn?nan?1?n3?n2?n?nan?1?333?当n?2时,2Sn?1??n?1?ann?1?n?n?1??? ②
3由① — ②,得 2Sn?2Sn?1?nan?1??n?1?an?n?n?1?
?2an?2Sn?2Sn?1
?2an?nan?1??n?1?an?n?n?1?
??an?1ana?a???1 ?数列?n?是以首项为1?1,公差为1的等差数列. n?1n1?n?an?1?1??n?1??n,?an?n2?n?2? n当n?1时,上式显然成立. ?an?n2,n?N* (3)证明:由(2)知,an?n2,n?N*
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