①当n?1时,
17?1?,?原不等式成立. a141117??1??,?原不等式亦成立. a1a2442②当n?2时,
③当n?3时, ?n??n?1???n?1?,?11? 2n?n?1???n?1??1111111111?????2?2???2?1?????? a1a2an12n1?32?4?n?2??n?n?1???n?1?1?11?1?11?1?11?1?11?1?11??1??????????????????????
2?13?2?24?2?35?2?n?2n?2?n?1n?1?1?1111111111??1??????????????
2?132435n?2nn?1n?1?1?1111?71?11?7?1?????????????
2?12nn?1?42?nn?1?4?当n?3时,,?原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有
1117?????. a1a2an435．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an?1,an?2,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N,an?4?an),写出d1,d2,d3,d4的值; (II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
【答案】(I)d1*
?d2?1,d3?d4?3.
(II)(充分性)因为?an?是公差为d的等差数列,且d?0,所以a1?a2???an??. 因此An?an,Bn?an?1,dn?an?an?1??d(n?1,2,3,?). (必要性)因为dn??d?0(n?1,2,3,?),所以An?Bn?dn?Bn. 又因为an?An,an?1?Bn,所以an?an?1. 于是An?an,Bn?an?1. 因此an?1?an?Bn?An??dn?d,即?an?是公差为d的等差数列.
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(III)因为a1?2,d1?1,所以A1?a1?2,B1?A1?d1?1.故对任意n?1,an?B1?1. 假设?an?(n?2)中存在大于2的项.
设m为满足an?2的最小正整数,则m?2,并且对任意1?k?m,ak?2,. 又因为a1?2,所以Am?1?2,且Am?am?2.
于是Bm?Am?dm?2?1?1,Bm?1?min?am,Bm??2. 故dm?1?Am?1?Bm?1?2?2?0,与dm?1?1矛盾.
所以对于任意n?1,有an?2,即非负整数列?an?的各项只能为1或2. 因此对任意n?1,an?2?a1,所以An?2. 故Bn?An?dn?2?1?1. 因此对于任意正整数n,存在m满足m?n,且am?1,即数列?an?有无穷多项为1.
36．（2013年高考陕西卷（理））
设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导{an}的前n项和公式;
【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an?1}不是等比数列.
①当q?1时，数列{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn?a1?a1???a1?na1. ②当q?1时，Sn?a1?a2???an?1?an?qSn?qa1?qa2???qan?1?qan.
上面两式错位相减: （1-q)Sn?a1?(a2?qa1)?(a3?qa2)??(an?qan?1)?qan?a1?qan.
a1?qana1(1?qn)?Sn??..
1-q1-q?na1,?③综上,Sn??a1(1?qn)?1?q,?(Ⅱ) 使用反证法.
(q?1)(q?1)
设{an}是公比q≠1的等比数列, 假设数列{an?1}是等比数列.则 ①当?n?N*，使得an?1=0成立,则{an?1}不是等比数列.
an?1?1a1qn?1??恒为常数 ②当?n?N，使得an?1?0成立,则n?1an?1a1q?1*第 17 页 共 18 页
?a1qn?1?a1qn?1?1?当a1?0时,q?1.这与题目条件q≠1矛盾.
③综上两种情况,假设数列{an?1}是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列{an?1}不是等比数列.
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