导数大题练习
1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，
(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞12成立． ?xexe2、已知函数f(x)?2?alnx?2(a?0).（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线x与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于?x?(0,??)都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区
―
间[e1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.
3． 设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x)在[,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x)的极值点.
4、已知函数f(x)?12
12ax?(2a?1)x?2lnx(a?R). 2(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1和x?3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)?x?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得
2f(x1)?g(x2)，求a的取值范围.
5、已知函数f?x??2?alnx?2(a?0) x(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单
调区间； (Ⅱ)若对于任意x??0,???都有f?x??2(a?1)成立，试求a的取值范围；
(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间e,e上有两个零点，
求实数b的取值范围．
??1?6、已知函数f(x)?1?lnx． x1)(其中a?0)上存在极值，求实数a的取值范围； 2k(2)如果当x?1时，不等式f(x)?恒成立，求实数k的取值范围．
x?1(1)若函数在区间(a,a?
1
1.解：(Ⅰ)对一切x?(0,??),f(x)?g(x)恒成立，即xlnx?ax??x?2恒成立.
也就是a?lnx?x?22在x?(0,??)恒成立.………1分 x令F(x)?lnx?x?2 ， x12x2?x?2(x?2)(x?1)?则F?(x)??1?2?，……2分 22xxxx??)上F?(x)?0， 1)上F?(x)?0，在(1，在(0，因此，F(x)在x?1处取极小值，也是最小值， 即Fmin(x)?F(1)?3，所以a?3.……4分
f(x)?xlnx?x， (Ⅱ)当a??1时，f?(x)?lnx?2，由f?(x)?0得x?①当0?m?1. ………6分 2e111时，在x?[m,2)上f?(x)?0，在x?(2,m?3]上f?(x)?0 2eee因此，f(x)在x?11f(x)??处取得极小值，也是最小值. . mine2e2由于f(m)?0,f(m?3)?(m?3)[ln(m?3)?1]?0 因此，fmax(x)?f(m?3)?(m?3)[ln(m?3)?1]②当m?………8分
1时，f'(x)?0，因此f(x)在[m,m?3]上单调递增， e2所以fmin(x)?f(m)?m(lnm?1)，
fmax(x)?f(m?3)?(m?3)[ln(m?3)?1]……9分
(Ⅲ)证明：问题等价于证明xlnx?x?x2?(x?(0,??)),………10分 exe由(Ⅱ)知a??1时，f(x)?xlnx?x的最小值是?
2
11x?，当且仅当时取22ee得，……11分 设G(x)?x21?x??(x?(0,??))G(x)?，则，易知
exeex1Gmax(x)?G(1)??，当且仅当x?1时取到， ………12分
e但?11??，从而可知对一切x?(0,??)， 2ee12?成立. ………13分 xexe都有lnx?1?2a?，x2x2x?22a??2???1所以f'(1)，所以a=1.所以f(x)??lnx?2. f'(x)?.由2xx112、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为f'(x)??f'(x)?0解得x＞0；由f'(x)?0解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），
单调减区间是（0，2）.…… 4分
2aax?22??x?f'(x)?0， 由解得；由f'(x)?0解得x2xx2a22220?x?.所以f (x)在区间(,??)上单调递增，在区间(0,)上单调递减.所以当x?aaaa2时，函数f (x)取得最小值，ymin?f(). 因为对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，
a22222 所以f()?2(a?1)即可. 则?aln?2?2(a?1).由aln?a解得0?a?.所
2aaeaa2以a的取值范围是(0,). ……………… 8分
e （Ⅱ）f'(x)??2x2?x?2x? （Ⅲ）依题得g(x)??lnx?x?2?b，则g(').由g'(x)?0解得x＞1；2xx由g'(x)?0解得0＜x＜1.所以函数g(x)在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为
?g(e?1)?0?－
增函数.又因为函数g(x)在区间[e1，e]上有两个零点，所以?g(e)?0.解得
?g(1)?0?1?b?22?e?1.所以b的取值范围是(1,?e?1]. ee
3
……………… 13
分
3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）.
……………… 1分
因为f'(x)?1?2x?0，所以f (x)在[1，e]上是增函数， x
……………… 3分
当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1. 所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.
12x2?2ax?1 （Ⅱ）解法一：f'(x)??2(x?a)?
xx设g (x)=2x2―2ax+1，
……………… 4分
…… 5分
依题意，在区间[,2]上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立.
12注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或g()?0即可
……………… 6分
129， 4113由g()?0，即?a?1?0，得a?，
2229所以a?，
49所以实数a的取值范围是(??,).
4由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得a? ……………… 8分
12x2?2ax?1解法二：f'(x)??2(x?a)?，
xx12 ……………… 4分
依题意得，在区间[,2]上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立. 又因为x＞0，所以2a?(2x?). 设g(x)?2x?1x ……………… 5分
11，所以2a小于函数g (x)在区间[,2]的最大值. x21又因为g'(x)?2?，
x由g'(x)?2?12?0解得； x?2x212?00?x?解得. x22由g'(x)?2?所以函数g (x)在区间(所以函数g (x)在x?212,2)上递增，在区间(,)上递减. 2221，或x=2处取得最大值. 2 4
9199，g()?3，所以2a?，a? 22249所以实数a的取值范围是(??,).
4又g(2)? ……………… 8分
2x2?2ax?1 （Ⅲ）因为f'(x)?，令h (x)=2x2―2ax+1
x①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f '(x)＞0，此时函数f (x)没有极值点； ……………… 9分 ②当a＞0时，
（i）当Δ≤0，即0?a?2时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f '(x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点； （ii）当Δ＞0时，即a?
……………… 10分
2时，
a?a2?2a?a2?2易知，当时，h (x)＜0，这时f '(x)＜0； ?x?22a?a2?2a?a2?2当0?x?或x?时，h (x)＞0，这时f '(x)＞0；
22a?a2?2a?a2?2所以，当a?2时，x?是函数f (x)的极大值点；x?是函22数f (x)的极小值点. 综上，当a?
……………… 12分
2时，函数f (x)没有极值点；
a?a2?2a?a2?2当a?2时，x?是函数f (x)的极大值点；x?是函数f (x)的极
22小值点.
4．解：f?(x)?ax?(2a?1)?2(x?0). ………1分 x2(Ⅰ)f?(1)?f?(3)，解得a?. ………3分
3(ax?1)(x?2)(x?0). ………4分 (Ⅱ)f?(x)?x①当a?0时，x?0，ax?1?0，
在区间(0,2)上，f?(x)?0；在区间(2,??)上f?(x)?0，
故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??). ………5分 ②当0?a?11时，?2， 2a5