第一章 离散时间信号系统与Z变换
解：
??(a) X(ej0)??x(n)e?j0?n??x(n)?6n???n???(b) ??j??X(e)d???X(ej?)ej0d?
???? ?2 ? x(0) ?4 ?(c)由帕塞瓦尔公式可得：
??X(ej?)2?d??2?x(n)2?28?
??n?????(d)∵X(ej?)?n?x(n)e?j?n
???ej?)?∴
dX(d??)e?j?n
n?(?jn)x(n???j?即DTFT?(?jn)x(n)??dX(e)d?
由帕塞瓦尔公式可得：
??dX(ej?)2???d?d??2?n?|(?jn)x(n)|2?????2??n2x2(n)
n????2?(9?1?0?1?9?64?25?0?49)?316? 11
第一章 离散时间信号系统与Z变换
9. 已知x(n)有傅里叶变换X(ej?)，用X(ej?)表示下列信号的傅里叶变换。 (a) x1(n)?x(1?n)?x(?1?n) (b) x2(n)? (c) x3(n)?(n?1)2x(n)
x(?n)?x(n)2?
【分析】
利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。
x(n)?X(ej?) , x(?n)?X(e?j?)x(m?n)?e?j?mX(e?j?) ,
?jdX(ej)d??DTFT[nx(n)] 。解：
(a) DTFT?x(n)??X(ej?)
DTFT?x(?n)??X(e?j?)
DTFT?x(1?n)??e?j?X(e?j?) DTFT?x(?1?n)??ej?X(e?j?)
DTFT[x1(n)]?X(e?j??ej?]
? 2 X(e?j?)cos?(b) DTFT[x*(?n)]?X*(ej?)
因而： DTFT [ x X *( e j? ) ? X ( e j? ) 2 ( n )] ? 2 ? Re[ X ( e j? ) ] ?(c) X(ej?)??x(n)e?j?n
n???j?则
dX(e)?d???(?jn)x(n)e?j?n
n???dX(ej?即 DTFT?nx(n)??)(?j)d?j?
?jdX(e)d? 12
第一章 离散时间信号系统与Z变换
同理:DTFT?n2x(n)?j? ?j?dd?(jdX(e) d?)2X(ej???d)d?2
而 x3(n)?n2x(n)?2nx(n)?x(n) 所以
DTFT?x3(n)?
?DTFT?n2x(n)??2DTFT?nx(n)? ?DTFT?x(n)?
2j?j???dX(e)d?2?2jdX(e)d??X(ej?)
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第一章 离散时间信号系统与Z变换
? 离散系统的系统函数，系统的频率响应 【习题】
10. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n?1)
(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b)求此系统的单位抽样响应；
(c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。
【分析】
x(n)?X(z) , h(n)?H(z) , y(n)?Y(z)
则 H(z)?Y(z)/X(z)?Z[h(n)]，
要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）。 解：（a）对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：
Y(z)?zY(z)?zY(z)?zY(z)X(z)z1?z?1?1?2?1X(z)
z(z?a1)(z?a2)所以H(z)???1?z?2?
零点为z=0，z?? 极点为z?a1?0.51??5?1.62，z?a2?0.51???5??0.62
?因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。 零极点图如下图所示。
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第一章 离散时间信号系统与Z变换
（b） 因为 H(z)?z(z?a1)(z?a2)?1a1?a2?zz???? z?az?a12????11????a1?a2?1?a1z?11?a2z?1?
???1n?nn?n??az?a?2z??1?a1?a2?n?0n?0?1所以 h(n)?1a1?a2?an1?a2n?u(n)
式中 a1?1.62 , a2??0.62由于H(z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。
（c）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选H(z)的收敛区域为 a2?z?a1，
即0.62?z?1.62，则
?zz?H(z)????
a1?a2?z?a1z?a2?1中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。
?所以 H(z)???a1?a2?1?1?n???a1zn??n??n?0a2zn?n?? ?则有h(n)?1a2?a1?a?n1u(?n?1)?a2u(n)nn?n
??0.447?(1.62)u(?n?1)?(?0.62)u(n)?从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。
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