3a?x?(0?x?a)， ??2分 32111箱子的容积为V(x)?x2?sin600?h?ax2?x3(0?x?a)． ??6分
288132由V'(x)?ax?x2?0解得x1?0（舍），x2?a， ??8分
34822且当x?(0,a)时，V'(x)?0；当x?(a,a)时，V'(x)?0，
332所以函数V(x)在x?a处取得极大值， ??10分
32121213这个极大值就是函数V(x)的最大值：V(a)?a?(a)2??(a)3?a．??12分
3838354132答：当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a． ??14分
354111118. （文）解：（1）不等式f(x)?0的解集是(,)，故方程f(x)?0的两根是x1?,x2?，所
434317. 解：设箱底边长为x，则箱高为h?1?12a()?b()?1?0?44以?，解得a?12,b?7； ??6分 121?a()?b()?1?03?3a?22(a?2)2)??1， ?8分 （2）因为b?a?2，所以f(x)?ax?(a?2)x?1?a(x?2a4aa?211对称轴为x???，
2a2aa?2111当a?2时，x????(,1]， ??10分
2a2a2a?2(a?2)2)?1???1，解得a?2， ??12分 所以f(x)min?f(2a4aa?2113当a?1时，x????，所以f(x)min?f(1)??1成立． ??14分
2a2a2综上可得：a?2或a?1． ??16分
2?x2?2x?2,x?1（理）解：（1）a?2时，f(x)?x?2x?2??2， ??2分
,x?1?x?2x?2结合图象知，函数y?f(x)的单调增区间为[1,??)，减区间为(??,1]． ??6分
ax?2?x?2x?a,2， ??8分 （2）f(x)??2a?x?2x?a,x?2a?a??2,???1，
2当a?2时，函数y?f(x)的最小值为f(1)?a?1= 2，
解得a = 3符合题意； ??10分
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aa2?2，无解； 当?2?a?2时，函数y?f(x)的最小值为f()?24综上，a = 3． ??12分
（3）由（2）知，当a?2时函数y?f(x)的最小值为f(1)?a?1，
所以a?1?ab2(a?2)恒成立，令g(a)?a(b2?1)?1(a?2)， ??14分
?b2?1?022?b?有：?2，故?． ??16分 22?2(b?1)?1?019. 解：（1）当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1， ??2分 当n?1时，a1?S1?1，满足上式，所以an?2n?1； ??4分
?an,n为奇数?（2）由分段函数f(n)??n可以得到：
f(),n为偶数??2c1?f(6)?f(3)?a3?5,c2?f(8)?f(4)?f(2)?f(1)?a1?1,当n?3,n?N*时，
??6分
cn?f(2n?4)?f(2n?1?2)?f(2n?2?1)?2(2n?2?1)?1?2n?1?1， ??8分
故当n?3,n?N*时，
Tn?5?1?(22?1)?(23?1)???(2n?1?1)
4(1?2n?2)?6??(n?2)?2n?n， ??10分
1?2?5,n?1所以Tn??n； ??12分
2?n,n?2?（3）由Sn?n2，及Sm?Sn???Sk得m2?n2???k2，
m2?n29(m2?n2)9(m2?n2)， ??14分 ?m?n?3k,???2k2(m?n)2m?n2?2mn9(m2?n2)9(m2?n2)m2?n29?2mn?m?n(m?n),????，
k2m2?n2?2mnm2?n2?m2?n2222·7·
m2?n299?要??恒成立，只要，∴的最大值为． ??16分 ??222k20. （文）（1）由已知，y?f(x)?x2?bx?1为偶函数，所以b = 0； ??2分 设方程x2?1?kx?2的两根为x1，x2，由AB?10得：
1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2=(1?k2)(k2?4)?10
解得k??1； ??4分 （2）由（1）知f(x)?x2?1，g(x)??x?2，故F(x)?f(x)g(x)=?x3?2x2?x?2， 由F?(x)??3x2?4x?1?0，解得x1?1,x2?列表如下：
1， ??6分 3x F?(x) F(x) 0 2 （0，1） 31 3 （1，1） 3+ 1 － 50 2 27150所以，函数F(x)在区间[0，1]上的最小值为f()?； ??10分
32750（3）由（2）知，当x?[0,1]时，有不等式(1?x2)(2?x)≥恒成立，
271x2727所以≤，有≤(2?x)(2x?x2)， ??12分 221?x1?x5050当sin?,sin?,sin??[0，1]，且sin??sin??sin??1时，
sin?sin?sin?27222++≤[2(sin??sin??sin?)?(sin??sin??sin?)] 21?sin?1?sin2?1?sin2?50=
27[2?(sin2??sin2??sin2?)] ??14分 50又1 = (sin??sin??sin?)2≤3(sin2??sin2??sin2?)， ∴sin2??sin2??sin2?≥∴
1， 3sin?sin?sin?2719++≤， (2?)?1?sin2?1?sin2?1?sin2?50310·8·
当且仅当sin??sin??sin??
1时，等号成立. ??16分 3a2x2?2x?a??0在(?1,??)有两个不等实根， （理）解：（1）由题意f(x)?2x?x?1x?1'即2x2?2x?a?0在(?1,??)有两个不等实根， ??2分
???4?8a?01设F(x)?2x2?2x?a，则?，解之得0?a?； ??4分
2?F(?1)?0（2）a?1时，f(x)?x2?ln(x?1)， 令g(x)?f(x)?'55x?x2?ln(x?1)?x(x?1)， ??6分 22154x2?x?3(4x?3)(x?1)???则g(x)?2x?， x?122(x?1)2(x?1)当x?1时，g'(x)?0，所以函数g(x)在[1,??)上是增函数． ??8分 由已知，不妨设1?x1?x2???，则g(x1)?g(x2)， 所以f(x1)?f(x1)?f(x2)555?； ??10分 x1?f(x2)?x2，即
x1?x2222（3）令函数h(x)?x3?x2?ln(x?1)， ??12分
13x3?(x?1)2?则h(x)?3x?2x?， x?1x?1'2当x?[0,??)时，h'(x)?0，函数h(x)在[0,??)上单调递增． ??14分 又h(0)?0，所以当x?(0,??)时，恒有h(x)?h(0)?0,即ln(x?1)?x2?x3恒成立． 取x?1111?(0,??)，则有ln(?1)?2?3恒成立，
nnnnn?1n?1?3恒成立．??16分 nn故存在最小的正整数N?1，使得当n?N时，不等式ln
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