∴?xe04?xdx?(?xe?4?x?e?x)0
4 =?5e故：原式=5?5e
?4?1
经济数学基础作业3
一、填空题
1. 3. 2.?72. 3. A,B可交换. 4. (I?B)?1A.
???00?5. ?1?01?. ?20????00?1??3??二、单项选择题
1. C． 2. A ． 3. C． 4. A． 5. B ． 三、解答题 1．
（1） 解：原式=?1?2???35? ?（2）解：原式=?00???00? ?（3）解：原式=?0?
?7197??245??5152?2．解：原式=??7120?????610???=?1110?? ??0?4?7????3?27?????3?2?14??56115665603．解：AB=246?244?240?0 ?10?1?100?100?124?②?①?(?2)?124??14．解：A???2?1?③?①?(?1)?????????0??4?7?（②，③）???????0??110????0?1?4????0?124? ?③??②??(????4)???0?1?4??
??009?4??? 所以当??94时，秩r(A)最小为2。
24??1?4????4?7??
?2?55．解：A???1??4?1?0??0??0?1?0??0??0?727927?79004?15?5?154?500?5?8?7?12?6?2?62?200354124221??1??35(①，③)????????20???3??4?792727?7?8?5?14?5?15?1545312?2?6?624220?②?①?(?5)?③?①?(?2)3?①?(?4)??④???? 1??3?0?③②?(?3)?1?②?(?3)??④???? 3??3?0??1??30（②，③）????????01???3??00??1? 0??0?所以秩r(A)=2
6．求下列矩阵的逆矩阵： （1）
?1?解：?A?I???3???1?30121?11000100??1②?①?3??③?①?(?1)0?????0???1???0?3?9427?313?10100??0 ?1???1②?(?)?9??????0??01?314?279?311?3?101?900??0??1??1?①?②?3?③?②?(?4)??????0??0??010??1370?1??131919313949???0? ??1??0?1①?③?3?②?③?7??????0??0?010134001912131349??1??③?97?????0???1??0?30100011231343??7 ?9??所以A（2）
?1?1??2???33??7。 ?9???6?2112?1415?7?3?1114?21000100100??①?③?70??????1???1??4???21?2111?148?74?1110012?20100107??0 ?1??7??15
??13????13?解：?A?I???4???2?1?③?①?(?2)?????0???0②?①?47??1??②?③28????0????13???0
?1?③?②?????0???0①?②?(?1)?10103?71?1?481?120?111?8??1①?③?4??②?③?(?8)15?????0???2???0010001?1203?710???1 ?2??所以A??1??2???0250???1。 ?2??0??1②?①?(?3)???????1??0?532?? ?1?2?11?30??1②?(?1)??????1??021130?? ?1?7．解：X?BA?1??A?I????3①?②?(?2)
10012?? ?1??1???????0?A?1??5???3?1 X?BA?1???22???5??3??32??1????1???10?? 1?四、证明题
1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。 证明：∵ AB1?B1A，AB2?B2A
2 ∴ A(B1?B2)?AB1?AB?B1A?B2A?(B1?B2)A
2 A(B1B2)?AB1B2?B1ABT?B1B2A?(B1B2)A
TT 即 B1?B2，B1B2也与A可交换。
2．试证：对于任意方阵A，A?A，AA,AA是对称矩阵。 证明：∵ (A?A) (AA)(AA)TTTTTT?ATTT?(A)TTTT?ATT?A?A?A
T?(A)(A)?(A)(A)TTTT?AAT
?AA
∴ A?A，AA,AA是对称矩阵。
3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。 证明：充分性 ∵ ATT?A，BTT?B，(AB)T?AB
∴ AB?(AB)必要性
∵ AT?BATT?BA
?A，BTT?B，AB?BA
T∴ (AB)?(BA)?ABTT?AB
?1即AB为对称矩阵。
4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B证明：∵ AT?B，证明B?1T?1AB是对称矩阵。
?1?A，B?1?1?B
TT?1T ∴ (B 即 B
AB)T?BA(B)T?B?1A(B)T?1?BA(B?1)?1?BAB
?1AB是对称矩阵。
经济数学基础作业4
一、填空题
1.1?x?4且x?2. 2.x?1，x?1， 小 3. ?二、单项选择题
1. B． 2. C． 3. A ． 4. D ．5. C ． 三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1)解：原方程变形为： 分离变量得：e?yp2. 4. 4 . 5.t??1.
dydx?y?exx?y
dy?edx
d(?y)??y 两边积分得：??e?edx
xx 原方程的通解为：?e2?ex?C
x（2）解：分离变量得：3ydy?xedx
两边积分得：?3ydy?32?xedx
xx原方程的通解为：y?xe?e?C 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）解：原方程的通解为：
?y?e??x?1dx22(?e??x?1dx?22(x?1)dx?C)?e33?x?1d(x?1)22?(?e?2x?1d(x?1)(x?1)dx?C)
33 ?elnx(?1)(?e2lnx(?1)(x?1)dx?C)?(x?1)(?(x?1)2?2(x?1)dx?C)
?(x?1)(?(x?1)dx?C)?(x?1)(*（2）解：原方程的通解为：
12x2?x?C)
??1dxx?x??1dx(?e2xsin2xdx?C)?e(?e2xsin2xdx?C) y?e?3.求解下列微分方程的初值问题： (1) 解：原方程变形为：
ydydx?e2x2x?y
分离变量得：edy?edx 两边积分得：?edy?原方程的通解为：eyy?e122xdx
?e2x?C
1212将x?0，y?0代入上式得：C?则原方程的特解为：ey
?12e2x?x(2)解：原方程变形为：y??原方程的通解为：
1xy?ex
?y?e?1xdx(?e?1xdxexdx?C)?elnx?1(?elnxexdx?C)?1(?edx?C)
xxxx ?1(exx?C)
将x?1，y?0代入上式得：C??e
则原方程的特解为：y?1x(ex?e)
4.求解下列线性方程组的一般解：
（1）解：原方程的系数矩阵变形过程为：
?102?1?②?①?102?1??10A????11?32?③?①?(?2)????????01?11???③???②???01??2?15?3????0?11?1????00由于秩(A)=2 ?x?1??2x3?x4（其中x3，x4为自由未知量）。 ?x2?x3?x4（2）解：原方程的增广矩阵变形过程为： ?2?1111??12?142?A???12?142?(①????,②?)??2?1111?? ??17?4115????17?4115??②?①?(?2)?12?142??12?142??③??①?(???1)???0?53?7?3???③???②???0?53?7?3????05?373????00000????10164?②?(?12?142??1555?)?????5???01?373??①??②??(???2)??01?373?555??555? ?00000???00000??????由于秩(A)=2 ?41?x??5?5x613?5x4（其中x3??x337，x4为自由未知量）。 2?5?5x3?5x45.当?为何值时，线性方程组 ?x1?x2?5x3?4x4?2??2x1?x2?3x3?x4?1??3x1?2x2?2x 3?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。 解：原方程的增广矩阵变形过程为： 2?1??11??00??