上海市徐汇区2015-2016学年高三一模数学理科试卷
2016.1
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的标准方程是________________．
2．方程log23x?5?2的解是________________．
3．设an?3?n(n?N*)，则数列{an}的各项和为________________． 4．函数y?cos2x?3sinxcosx的最小值为________________．
5．若函数f(x)的图像与对数函数y?log4x的图像关于直线x?y?0对称，则f(x)的解析式为
??f(x)?________________．
26．若函数f(x)?4x?x?a的零点个数为4，则实数a的取值范围为________________．
7．若x,y?R?，且
19??1，则x?y的最小值是________________． xya138．若三条直线ax?y?3?0,x?y?2?0和2x?y?1?0相交于一点，则行列式112的
2?11值为________________．
9．x?2x?13x?4展开后各项系数的和等于________________．
10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，AB?3，CD?2，则A、B两点在四面
体ABCD的外接球上的球面距离是________________．
11．已知函数f(x)?x?1的定义域为D，值域为??1,0,1,?，则这样的集合D最多有 _______．个
2?3??2?12．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个
数字之和恰好是9的概率为________________．
x1213．设x1,x2是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的两个根，若x1是虚数，是实数，则
x22x?x??x??x??x??x?S?1?1??1???1???1???1???1?=________________．
x2?x2??x2??x2??x2??x2?
2481632?cosC????????1cosB????AB??AC?2m?AO,则实数14． 已知O是锐角?ABC的外心，tanA?．若
2sinCsinB徐汇区×××× 本卷共×页 第×页
m?________________．
二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）
????15．已知向量a与b不平行，且a?b?0，则下列结论中正确的是-----------------------（ ）
???????A． 向量a?b与a?b垂直 B． 向量a?b与a垂直 ???????C． 向量a?b与a垂直 D． 向量a?b与a?b平行
16．设a,b为实数，则“0?ab?1”是“b?1”的-----------------------------（ ） aA． 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数(x?2y)?(5?2x?y)i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）
18．设函数y?f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2?D，当x1?x2?2a时，恒有
f(x1)?f(x2)?2b，则称点(a,b)为函数y?f(x)图像的对称中心．研究函数 f(x)?x?sin?x?3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ?1??2??3??4030??4031?f??f?f???f?f?????????的值为---------------（ ） ?2016??2016??2016??2016??2016?A．?4031 B．4031 C．?8062 D． 8062
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
19．（本题满分12分）
S
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A B
C
在三棱锥S?ABC中，SA?AB,SA?AC,AC?BC且 AC?2,BC?13,SB?29. 求证SC?BC并求三棱锥的体积VS?ABC．
20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
?1?已知实数x满足???3?2x?4?1??1????????3??3?xx?2x1??0且f(x)?log2?log292x 2（1）求实数x的取值范围；
（2）求f?x?的最大值和最小值，并求此时x的值．
21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB?30km，BC?15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设?BAO?x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
P （1） 将y表示为x的函数； C D （2） 试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，
并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．
O B
A
22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分）
给定数列?an?，记该数列前i项a1,a2,?,ai中的最大项为Ai，即Ai?max?a1,a2,?,ai?；
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该数列后n?i项ai?1,ai?2,?,an中的最小项为Bi，即Bi?min?ai?1,ai?2,?,an?；
di?Ai?Bi(i?1,2,3,?,n?1)
（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的d1,d2,d3;
（2）若Sn是数列?an?的前n项和，且对任意n?N?,有(1??)Sn???an?21n?,其中?为实数，331??0且??,??1．
3
①设bn?an?2,证明数列?bn?是等比数列；
3(??1)
②若数列?an?对应的di满足di?1?di对任意的正整数i?1,2,3,?,n?2恒成立，求实数?的取值范围．
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
已知直线l1、l2与曲线W:mx?ny?1?m?0,n?0?分别相交于点A、B和C、D，我们将
22四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．
（1） 若直线l1:y?x?a和l2:y?x?b将单位圆W:x?y?1分成长度相等的四段弧，求
22a2?b2的值；
（2） 若直线l1:y?2x?10,l2:y?2x?10与圆W:x?y?4分别交于点A、B和C、D，
求证：四边形ABCD为正方形；
22x2?y2?1的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积． （3） 求证：椭圆W:2
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上海市徐汇区2015-2016学年高三一模
数学学科（理科）参考答案及评分标准
2016.1
三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)
１．y2?8x ２．x?2 3． 4．? 5．y??4?x?x?R? 6．0?a?4 7．16
?2 14．8．0 9．28 10． 11．9 12． 13．
12122?3145 5二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 四． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
S
A 19．（本题满分12分）
AB?AC?A,所以SA?平面ABC,解：因为SA?AB,SA?AC，
C
B
所以SA?BC.又AC?BC.所以BC?平面SAC.故SC?BC.--------6分 在?ABC中，?ACB?900,AC?2,BC?13,所以AB?17.----8分 又在?SAB中，SA?AB,AB?17,SB?29,所以SA?23.---10分
?又因为SA?平面ABC,所以VS?ABC???.----------12分 ?2?13???23?3?23?1123920．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）
1?解：（1）设????3?x?21?u，则上式化为9u2?10u?1?0，?u?1，
9即
1?1????9?3?x?2?1，
分
2?x?4---------------------------------------------------------------------6
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