黄浦区2017年高考模拟考
数 学 试 卷 2017年4月
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．函数y?2x?x2的定义域是 ．
[
?ax?y?1?0，2．若关于x,y的方程组?有无数多组解，则实数a?_________．
4x?ay?2?0?3．若“x2?2x?3?0”是“x?a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ． 4．已知复数z1?3?4i，z2?t?i(其中i为虚数单位)，且z1?z2是实数，则实数t等
于 ．
??x?3a (x?0),5．若函数f(x)??x (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围
a?1 (x?0)?是 ．
?x?y?2，?6．设变量x,y满足约束条件?x?y?1， 则目标函数z??2x?y的最小值为 ．
?y?2，?7. 已知圆C:(x?4)2?(y?3)2?4和两点 A(?m, 0), B(m, 0)(m?0)，若圆C上至少存在一点P，使得?APB?90?，则m的取值范围是 ．
????ππ8. 已知向量a?(cos(??), 1)，如果a∥b，那么cos(?2?)的值为 ． b?(1, 4)，
339．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 ．
10．若将函数f(x)?|sin(?x?)|(??0)的图像向左平移
π8π个单位后，所得 12图像对应的函数为偶函数，则?的最小值是 ．
11．三棱锥P?ABC满足：AB?AC，AB?AP，AB?2，AP?AC?4，
则该三棱锥的体积V的取值范围是 ．
（第11题图）
12．对于数列{an}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有an?T?an成立，则称数列{an}是以T为
?bn?1 (bn?1)，?周期的周期数列．设b1?m(0?m?1)，对任意正整数n都有 bn?1??1若数
(0?b?1)，n?bn?列{bn}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个
m值即可)
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是 （ ）
A．y = sin(2x+) C．y = sin(x+)
π2π2ππ42
π2πD．y = cos(x+)
2B．y = cos(2x+)
14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的
表面积是 A．9π C．11π
B．10π D．12π
（ ）
x2y215．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点到左顶点的距离等
ab于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 A．2x?y?0 C．4x?3y?0 16．如图所示，?BAC?
B．x?2y?0 D．3x?4y?0
（ ）
2π，圆M与AB,AC分别相切于点D,E， 3????????????AD?1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP?xAD?yAE
（ ）
B．[4?23,4?23] D．[2?3,2?3]
(x,y?R)，则x?y的取值范围是
A．[1,4?23] C．[1,2?3]
三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
D,E,F分别是如图，在直棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AB?AC?2，AB?AC，
A1B1,CC1,BC的中点．
（1）求证：AE?DF；
（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．
在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcosC,acosA,ccosB成等差数列． （1）求角A的大小；
????????（2）若a?32，b?c?6，求AB+AC的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如果一条信息有n（各种情形之间互不相容），且这些情形发（n?1,n?N)种可能的情形生的概率分别为p1,p2,?,pn，则称H?11f(x)??xlogax,x?(0,1)）为该条信息的信息熵．已知f()?．
22中”的信息熵的大小；
f(p1)?f(p2)??f(pn)（其中
（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选
（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1,A2,?,An）参加，若当k?1,2,?,n?1时，选手
Ak获得冠军的概率为2?k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
x2y211 设椭圆M:2?2?1(a?b?0)的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点P(?,)，
ab22且AP?PO．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆M于D,E两点，且k1k2?1，求证：直线
DE恒过一个定点．
y
x 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若函数f(x)满足:对于任意正数s,t，都有f(s)?0,f(t)?0，且f(s)?f(t)?f(s?t)，则称函数f(x)为“L函数”．
（1）试判断函数f1(x)?x与f2(x)?x是否是“L函数”； （2）若函数g(x)?3x?1?a(3?x?1)为“L函数”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f(x)为“L函数”，且f(1)?1，求证：对任意x?(2k?1,2k)(k?N*)，都有
212f(x)?f(1)? xx22?x． 高三数学参考答案与评分标准
一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）
23； 5.[， 1)； 6. ?4；
343?17334 7]；7. [3， 8. ； 9.； 10. ； 11. (0,]； 12. 5?2（或，或3?1）．
28723 2]； 2. 2； 3.?1； 4.1. [0，二、选择题：（每题5分）
13.A 14.D 15. C 16. B 三、解答题：（共76分）
17．解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1 为z轴建立如图的空间直角坐标系．
由题意可知A(0,0,0),D(0,1,2),E(?2,0,1),F(?1,1,0)， 故AE?(?2,0,1),DF?(?1,0,?2)，???????4分
z
????????????????由AE?DF??2?(?1)?1?(?2)?0，
????????可知AE?DF，即AE?DF． ???????6分
?（2）设n?(x,y,1)是平面DEF的一个法向量， ????????O 又DF?(?1,0,?2)， EF?(1,1,?1)， x ???????n?x??2,??DF??x?2?0,故由?????解得? 故n?(?2,3,1)． ????9分 ??y?3,??n?EF?x?y?1?0,?????|n?AE|570??设AE与平面DEF所成角为?，则sin??????，????12分 ?14|n|?|AE|14?570所以AE与平面DEF所成角为arcsin，
145点A到平面DEF的距离为AE?sin??14． ???????14分
1418．解：（1）由bcosC,acosA,ccosB成等差数列，
可得bcosC+ccosB?2acosA， ???????2分 故sinBcosC+sinCcosB?2sinAcosA，所以sin(B+C)?2sinAcosA， ???4分 又A?B?C??，所以sin(B?C)?sinA，故sinA?2sinAcosA， 又由A?(0,π)，可知sinA?0，故cosA?（另法：利用bcosC+ccosB?a求解）
（2）在△ABC中，由余弦定理得b2?c2?2bccosy 1π，所以A?． ???????6分 23?3?(32)2， ???????8分
即b2?c2?bc?18，故(b?c)2?3bc?18，又b?c?6，故bc?6，??????10分
????????2????????2????2????2????????所以AB+AC?(AB+AC)?AB?AC?2AB?AC
?????????????????|AB|2?|AC|2?2|AB|?|AC|cosA ???????12分