?c2?b2?bc?(b?c)2?bc?30， ????????故AB+AC?30． ???????14分
1111119．解：（1）由f()?，可得?loga?，解之得a?2. ???????2分
222221由32种情形等可能，故P?(k?1,2,?,32)， ????????4分 k3211所以H?32?(?log2)?5，
3232答：“谁被选中”的信息熵为5． ????????6分
111，?????8分 )?1?(1?)?n?1n?1n?1222kn?1当k?1,2,?,n?1时，f(pk)??2?klog22?k?k，又f(pn)?n?1，
22123n?1n?1故H??????n?1?n?1， ????????11分
24822112n?2n?1n?1H? ????n?1?n+n， 2482221111114以上两式相减，可得H?+????n?1?1?n?1，故H?2?n，
22482224答：“谁获得冠军”的信息熵为2?n． ????????14分
2（2）An获得冠军的概率为1?(+???20．解：（1）由 AP?OP，可知kAP?kOP??1，
11又A点坐标为(?a,0),故2?2??1，可得a?1， ???????????2分
11?+a?2211241112，可得， ?1b?44b23y22?1． ???????????4分 所以椭圆M的方程为x?13y?0x?1（2）AP的方程为，即x?y?1?0， ?11?0??1223sin?)， ???????????6分 由于Q是椭圆M上的点，故可设Q(cos?,3因为椭圆M过P点，故+所以S?APQ?12??22cos??3sin??132 ???????????8分
?123?cos(??)?1 436当???6?2k?(k?Z)，即??2k???6(k?Z)时，S?APQ取最大值．
故S?APQ的最大值为31+． ???????????10分 64法二：由图形可知，若S?APQ取得最大值，则椭圆在点Q处的切线l必平行于AP，且在直线
AP的下方． ??????????6分
设l方程为y?x?t(t?0)，代入椭圆M方程可得4x2?6tx?3t2?1?0， 由??0，可得t??2323，又t?0，故t??． ??????????8分 33所以S?APQ的最大值?12|1?t|31???+． ???????????10分 22642（3）直线AD方程为y?k1(x?1)，代入x2?3y2?1，可得
3k12?1， (3k?1)x?6kx?3k?1?0，xA?xD?23k1?11?3k122k11?3k12又xA??1故xD?，， ??????12分 ，y?k(?1)?D11?3k121?3k121?3k122k21?3k221y?k?同理可得xE?，，又且，可得且k1??1， k?kkk?1E21212k11?3k221?3k222k12k1?2k1yE?yDk12?31?3k122k1k12?3?2?所以xE?2，yE?2，kDE?，
xE?xDk1?31?3k123(k12?1)k1?3k1?3?k12?31?3k1221221212k12k11?3k12直线DE的方程为y??(x?)， ??????14分 2221?3k13(k1?1)1?3k11?3k123(k12?1)令y?0，可得x????2． 221?3k11?3k1故直线DE过定点(?2,0)． ??????16分 （法二）若DE垂直于y轴，则xE??xD,yE?yD，
yDyEyD2yD21????与题设矛盾． 此时k1k2?xD?1xE?11?xD23yD23若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x?ty+s，将其代入x2?3y2?1，
?2tss2?1,yD?yE?2可得(t?3)y?2tsy?s?1?0，可得yD?yE?2，???12分 t?3t?3yDyyDyE?E??1， 又k1k2?xD?1xE?1(tyD?s?1)(tyE?s?1)222可得(t2?1)yDyE?t(s?1)(yD?yE)?(s?1)2?0， ??????14分
s2?1?2ts?t(s?1)2?(s?1)2?0， 故(t?1)2t?3t?32可得s??2或?1，又DE不过A点，即s??1，故s??2．
所以DE的方程为x?ty?2，故直线DE过定点(?2,0)． ??????16分 21．解：（1）对于函数f1(x)?x2，当t?0,s?0时，f1(t)?t2?0,f1(s)?s2?0， 又f1(t)?f1(s)?f1(t?s)?t2?s2?(t?s)2??2ts?0，所以f1(s)?f1(t)?f1(s?t)， 故f1(x)?x2是“L函数”. ??????2分 对于函数f2(x)?x，当t?s?1时，f2(t)?f2(s)?2?2?f2(t?s)，
故f2(x)?x不是“L函数”. ??????4分 （2）当t?0,s?0时，由g(x)?3x?1?a(3?x?1)是“L函数”，
可知g(t)?3t?1?a(3?t?1)?0，即(3t?1)(3t?a)?0对一切正数t恒成立， 又3t?1?0，可得a?3t对一切正数t恒成立，所以a?1． ??????6分
由g(t)?g(s)?g(t?s)，可得3s+t?3s?3t?1?a(3?s?t?3?s?3?t?1)?0， 故(3s?1)(3t?1)(3s?t+a)?0，又(3t?1)(3s?1)?0，故3s?t+a?0，
由3s?t+a?0对一切正数s,t恒成立，可得a?1?0，即a??1． ??????9分
1]． ?????????10分 综上可知，a的取值范围是[?1，（3）由函数f(x)为“L函数”， 可知对于任意正数s,t，
都有f(s)?0,f(t)?0，且f(s)?f(t)?f(s?t)， f(2s)?2， ?????????12分 令s?t，可知f(2s)?2f(s)，即
f(s)故对于正整数k与正数s，都有
f(2ks)f(2ks)f(2k?1s)f(2s)??????2k， ????????????14分 k?1k?2f(s)f(2s)f(2s)f(s)1对任意x?(2k?1,2k)(k?N*)，可得?(2?k,21?k)，又f(1)?1， x2kxk?1k?1k?1k?1?，???????16分 所以f(x)?f(x?2)?f(2)?f(2)?2f(1)?22112同理f()?f(21?k)?f(21?k?)?f(21?k)?21?kf(1)?21?k?， xxx1x2故f(x)?f()??． ???????????18分
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