不等式综合应用
一、知识梳理
1、 不等式的性质、均值定理、绝对值不等式定理 2、 不等式的解法、证法
3、 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系与区别 4、 线形规划，导数的应用。
1、）若实数a、b满足ab<0，则（ ）
A．|a－b|<|a|－|b| B．|a－b|<|a|+|b| C．|a+b|>|a－b| D．|a+b|<|a－b|
2
2、 设ｆ(x)= x+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域的面积是 （ ）
A．
19 B．1 C．2 D． 227
3、 已知xy＜0且x+y=2，而(x+y)按x的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那
么x的取值范围是 （ ）
A．(??,0)?(0,) B．[,??)
5454C．(??,0) D．(??,]
544、 函数y?f(x?1)的图像如下图所示，它在R上单调递减.现有如下结论：①f(0)?1；
?1②f()?1；③f(1)?0；④f12?11()?0其中正确结论的个数是 （ ） 2A. 1 B. 2 C. 3 Ｄ. 4
5、 实数x、y满足不等式
Ａ．[－１，0] Ｂ．???,0? Ｃ．??1,??? Ｄ．??1,1? 三、典型例题
1:已知f(?)?2cos2??2acos??a,如果对于任意??R,f(?)的值都不小于 －5，求实数a的取值范围。
22、经过抛物线y?4x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
则Ｗ＝
y?1的取值范围是（ ） x（1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程； （2） 若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为
1，试确定m的取值范围。 5 - 1 -
3、如图：已知△OFQ的面积为26，且OF?FQ?m，
（1）若6?m?46时，求向量OF与FQ的夹角?的取值范围；
（2）设|OF|?c，m?(6?1)c2时，若以O为中心，F为焦4点的双曲线经过点Q，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程．
4、已知函数f(x)=x3?(m?4)x2?3mx?(n?6)(x?R)的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。
（１） 求m , n的值；
（２） 试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数；
（３） 当-2≤x≤2 时，不等式f(x)?(n?logma)恒成立，求实数a的取值范围。
5、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1?1. 21（１） 求证：{
Sn}是等差数列；（2）求an的表达式；
2
（3）若bn=2(1－n)·an(n≥2)时，求证：b2
+b32+b42?+bn2＜1.
- 2 -
a(x?1)2?1 6、已知函数f(x)?（a、b、c?N）的图象按e＝（-1，0）平移后得到的
bx?c?b图象关于原点对称，f（2）＝2，f（3）＜3． （1）求a、b、c的值；
（2）设0?|x|?1，0?|t|?1求证：|t?x|?|t?x|?|f(tx?1)|； （3） 设x是正实数，求证：fn(x?1)?f(xn?1)?2n?2．
7：函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x+2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．
（Ⅲ）若h(x)?g(x)??f(x)?1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围
2
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四、练习
1、已知抛物线方程为y?ax2?bx?c(a?0,b、c?R).则“此抛物线顶点在直线y=x下方”是“关于x的不等式ax?bx?c?x有实数解”的
A．充分非必要条件 C．充分必要条件
2（ ）
B．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
（ ）
2、a、b是任意实数，记|a+b|、|a－b|、|b－1|中的最大值为M，则
A．M≥0
B．0≤M≤
1 2C．M≥1 D．M≥
1 23、若a、b、c、d均为实数，使不等式
ac??0 和 ad?bc 都成立的一组值（a，bdb，c，d）是 （只要写出适合条件的一组值） 4、（北京市东城区2004年模拟）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
5、（北京市西城区2004年模拟）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线y??9x?36的顶点和准线.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围.
已知曲线x?2y?4x?4y?4?0按向量a＝（2，1）平移后得到曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，2）的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，
222??????????设DM＝λMN，求实数λ的取值范围．
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训练反馈：
(1)D, (2)B, (3)C, (4)C, (5) D 典型例题:
1:析：由于cos2??2cos??1，通过换元本题可归结为二次函数问题，但要注意定义域。
解：记x?2cos?,则?2?x?2,且
2
2cos2??2acos??a?2(2cos2??1)?2acos??a?x?ax?2?a22
于是f(?)??5对于任意??R成立，即x?ax?2?a??5对于任意
x?[?2,2]成立，即x2?ax?3?a?0，对于任意x?[?2,2]成立，即函数
g(x)?x2?ax?3?a,x?[?2,2]的最小值?0
?g(?2)?7?3aa?4?aa2?而g(x)的最小值??g(?)?3?a?,?4?a?4
24???g(2)?7?a,a??4于是所求的实数a的取值范围由下式决定：
??4?a?4?a?4?a??4?2 或或???a7?3a?07?a?0??3?a?4?0??解之即得?7?a?2.
2
2、解： (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入y?4x,,得 kx-(2k+4)x+k=0 设M(x ,y).则
2222?x1?x2k2?2x??,??2k2 ??y?y1?y2?2.?2k?K2?22,) ∴点M的坐标为(2kk消去k可得M的轨迹方程为?2x?2(x?0).
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