§4 正定二次型
一、正定二次型
定义 设有实二次型f（x1,x2,?,xn），如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,?,cn都有f（c1,c2,?,cn）>0.则称 f为正定二次型。
如，二次型
22 f（x1,x2,?,xn）=x12?x2 ???xn22是正定的，因为只有在c1=c2=…=cn=0时，c12?c2 才为零. ???cn正定性的判定 1．实二次型
f（x1,x2,?,xn）= d1x12+d2x22+…+dnxn2 是正定的当且仅当di＞0 ，i=1,2,…,n. .
2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f（x1,x2,?,xn）=?i?1n?aj?1nijxixj ,aij=aji , (1)
是正定的，经过非退化实线性替换
X=CY (2)
变成二次型
g（y1,y2,?,yn）=?i?1n?bj?1nijyiyj , bij=bji (3)
则y1,y2,?,yn 的二次型g（y1,y2,?,yn）也是正定的，事实上，令
y1=k1,y2=k2,…,yn=kn
代入⑵的右端，就得x1,x2,?,xn对应的一组值.譬如说，是c1,c2,?,cn这就是说
?c1??k1??c??k?2 ??=C?2?
??????????c?n??kn?因为C可逆，就有
?k1??c1??k??c?-12 ??=C?2?
??????????kn???cn?所以当k1,k2,?,kn是一组不全为零的实数时，c1,c2,?,cn也是一组不全为零的实数.显然
g（k1,k2,?,kn）= f（c1,c2,?,cn）>0
因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换
?1 Y?CX
变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。
3．定理5 n元实二次型f（x1,x2,?,xn）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.
证明 设二次型f（x1,x2,?,xn）经过非退化实线性替换变成标准形
d1y12+d2y22+…+dnyn2
(4)
上面的讨论表明，f（x1,x2,?,xn）正定当且仅当⑷是正定的，又二次
型⑷是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n,即正惯性指数为n.
4．正定二次型f（x1,x2,?,xn）的规范形为 y12+y22+…+yn2 二、正定矩阵
定义 实对称矩阵A为正定的，如果二次型 X?AX 正定.
正定矩阵的判定
1．实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 推论 正定矩阵的行列式大于零.
证明 设A是一正定矩阵.因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使
A=C’EC=C’C 两边取行列式，就有
|A|=|C’||C|=|C|2>0
有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的规范形.下面就来解决这个问题.为此，引入 定义 子式
a11a21 Pi=
?ai1a12a22?ai2?a1i?a2i(i=1,2,…,n) ???aii称为矩阵A=(aij)nn的顺序主子式. 2． 定理6 实二次型
f（x1,x2,?,xn）=?i?1n?aj?1nijAX xixj=X?是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零. 证明 先证必要性.设二次型 f(x1,x2,?,xn)=?i?1n?aj?1nijxixj
是正定的.对于每个κ，1≤к≤n，令 fk(x1,x2,?,xn)=?i?1k?aj?1kijxixj
我们来证明fk是一个κ元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数c1,c2,?,ck，有
fk(x1,x2,?,xn)=?i?1k?accijij?1kj=f (c1,…,ck,0,…,0)>0
因此fk(x1,x2,?,xn)是正定的.由上面的的推论，fk的矩阵的行列式
a11?a1k ??? > 0 , k=1,…,n.
ak1?akk这就证明了矩阵A的顺序主子式全大于零. 再证充分性.对n作数学归纳法. 当n=1时，
f(x1)=a11x12
由条件a11>0显然有f(x1)是正定的.
假设充分性的论断对于n-1元二次型已经成立，现在来证n元的情形. 令
?a11?a1,n?1??a1n???????? A1=? , α=???? ???an?1,1?an?1,n?1???an?1,n??于是A可以分块写成
?A1 A=?'?? ann????既然A的顺序主子式全大于零，当然 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n-1级矩阵G使 G’A1G=En-1, 这里En?1代表n-1级单位矩阵.令 C1=?于是
?G' C1?AC1=??00??1??A1??'??G0?? 01?????G0??En?1G'??? ?01?=?'ann??????Gann?再令
?E C2=?n?1?0?G'???, 1?有
?En?10??En?1G'???En?1?C1?AC1C2=?' C2????'???G1???Gann??0?G'??? 1? =?令
?En?1?0? '?ann??'GG??0 C=C1C2 , ann-??GG??=a , 就有