?1????? C?AC=??1???a??两边取行列式，
|C|2|A|=a 由条件，|A|>0 ，因此a>0.显然 ?1??1??????=? ??1??1???a????????a??1???????1???1???1????1????? ??a?这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A正定矩阵，或者说，二次型f（x1,x2,?,xn）是正定的. 根据归纳法原理，充分性得证. 三、实二次型的分类
1．定义 设f（x1,x2,?,xn）是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,?,cn，如果都有
f(c1,c2,?,cn)<0，那么f(x1,x2,?,xn)称为负定的； f(c1,c2,?,cn)≥0那么f(x1,x2,?,xn)称为半正定的； f(c1,c2,?,cn)≤0,那么f(x1,x2,?,xn)是半负定的；
如果既不是半正定又不是半负定的，那么f(x1,x2,?,xn)就称为不定的.
2．判别
f（x1,x2,?,xn）负定的充要条件是-f（x1,x2,?,xn）就是正定的. f（x1,x2,?,xn）半负定的充要条件是-f（x1,x2,?,xn）就是半正
定的
定理7 对于实二次型f（x1,?,xn）＝X?AX，其中Ａ是实对称的，下列条件等价：
⑴f（x1,?,xn）是半正定的， ⑵它的正惯性指数与秩相等， ⑶有可逆实矩阵Ｃ，使
?d1?’
CAC=????d2??? ???dn?其中 di≥0 ,i=1,2,…,n. ⑷有实矩阵Ｃ使
A=C’C , ⑸Ａ的所有主子式皆大于或等于零.
注意，在⑸中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如
f(x1,x2)=-x22=(x1,x2)??00??0?1???x1??x? 就是一个反例. ?2?例 判断下列二次型的正定性：
222 (1) f(x1,x2,x3)?5x1?x2?5x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3
22 (2) f(x1,x2,x3)??5x12?6x2?4x3?4x1x2?4x1x3 22 (3) f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?2ax1x2?2bx2x3 (a,b?R)
?52?4?? 21?2 解 (1) A?????5???4?2?52?1?0, ?3?detA?1?0 ?1?5?0, ?2?21 故A为正定矩阵, f为正定二次型．
2???52? 2?60 (2) A?????0?4??2? ?1??5?0, ?2??52?26?0, ?3?detA??80?0 2?6 故A为负定矩阵, f为负定二次型．
?1a0?? a1b (3) A??????0b1??1a ?1?1, ?2??1?a2, ?3?detA?1?(a2?b2)
a1 当a2?b2?1时, 有?1?0,?2?0,?3?0 故A为正定矩阵, f为正定二次型； 当a2?b2?1时, 有?1?0,?3?0 故A为不定矩阵, f为不定二次型．