参考答案 一、叙述题(每题5分共20分) （略）
二、计算题（每题5分共20分）
1． 设liman?a（an?0,a?0），求liman。
n??nn??解 取?0满足0??0?a，由liman?a知，?N?N?，当n?N时，
n??a??0?an?a??0
从而
nnna??0?an?a??0
nnn??n??上式两边取极限并利用结论limc?1(c?0为常数)和迫敛性得liman?1。 2．求曲线x?1?t2,y?t?t2在t?1对应点的切线方程。
解 因为 x???2t,y??1?2t，
所以当t?1时，x?0,y?0；x???2,y???1。 那么切线方程为
x?0y?0?即x?2y?0 ?2?1
或
dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是
1? 2t?1y?0?3．求limx?01(x?0) 2tanx?sinx。 3sinx12x?xtanx?sinxtanx(1?cosx)12?lim解 lim。 ?lim?x?0x?0x?0sin3xsin3xx32
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或
tanx?sinxtanx?sinx 01?cos3x0 lim?limlim2 332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x 03cos2xsinx10 ?limlim? 2x?0x?03x6x2或
11????x?x3?o(x3)???x?x3?o(x3)??tanx?sinx33!????
lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1 ?lim2?x?0x32
4．求f(x)?2x3?x4的极值。
解 f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,2323 23(,??) 2－ ↘ x f?(x) f(x) 或 (??,0) + ↗ 0 0 无极值 3(0,) 2+ ↗ 3 20 极大值27/16 3f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,
22又 f??(x)?12x?12x?12x(1?x)，f???(x)?12(1?2x)
f??(0)?0,f???(0)?0，所以f在x?0不取极值。 33327f??()??9?0，所以f在x?取极大值f()?。
22216三、证明题（每题10分共60分） 1．设 an?1?111????,n?1,2,?，证明数列?an?收敛。 2232n2第2页，共6页
证 显然?an?递增，下证?an?有上界。事实上，
an?1?111???? 2232n2?1?111 ????1?22?3(n?1)n1??1??11??1?1??1????????????
?2??23??n?1n??2?1?2,n?1,2,?。 n于是由单调有界定理，?an?收敛。 或
an?p?an??111???? 222(n?1)(n?2)(n?p)111111???????
n(n?1)(n?1)(n?2)(n?p?1)(n?p)n(n?p)n由Cauchy准则，易知?an?收敛。
2. 设f(x)在(??,??)连续，且limf(x)，limf(x)都存在。证明f(x)在(??,??)上
x???x???一致连续。
证 因为limf(x)存在，由Cauchy准则可知，???0，?X1?0，当x?,x???X1时，
x???有
f(x??)?f(x?)??。 (1)
又由limf(x)存在，?X2?0，当x?,x???X2时，有
x???f(x??)?f(x?)??。 (2)
另一方面f在[X1?1,X2?1]上连续，所以在[X1?1,X2?1]一致连续。于是即对上述?，???(0,1)，当x?,x???[X1?1,X2?1]，且x???x???就有
f(x??)?f(x?)??。 (3)
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这样，当x?,x???(??,??)，且x???x???时， (i) 若x?,x???X1，由(1)式，f(x??)?f(x?)??； (ii) 若x?,x???X2，由(2)式，f(x??)?f(x?)??；
(iii) 若x??[X1,X2]或x???[X1,X2]，则x?,x???[X1?1,X2?1] 由(3)式，f(x??)?f(x?)??。
根据定义，即得f(x)在(??,??)上一致连续。 或
承上，f在(??,X1],[X1,X2],[X2,??)都是一致连续的，由书上例题结论
f(x)在(??,??)上一致连续。
3. 设limg(x)???，而limf(u)?A，证明
x?x0u???x?x0limf[g(x)]?A。
证 由limf(u)?A，???0,?G?0，当u?G时，有
u???f(u)?A??
由limg(x)???，对上面G，???0，当0?x?x0??时，有
x?x0g(x)?G
综上，???0，???0，当0?x?x0??，有
f[g(x)]?A??
即 limf[g(x)]?A
x?x01?x2?xsin,x?0?4. 设f(x)??2 x?0,x?0?（1）求导函数f?(x)；
（2）证明f?(x)在点x?0不连续；
（3）证明f(x)在点x?0的任何邻域不单调。
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证 (1) f?(0)?limx?01?1f(x)?f(0)?1?lim??xsin?? x?02x?2x?0?,x?0
1?1?2xsinx?cos??2x?f(x)??1???2(2) 因为lim?法)lim?,x?01?1?1?2xsinx??，而 limcos不存在（理由见后），易知(用反证
x?02x?0x??21??1?2xsinx?cos?不存在。所以f?(x)在点x?0不连续；
x?02x??事实上，取
??xn11????0,xn?0(n??) ?2n?2n??2limcosn??11?1,limcos?0
n?????xnxn由归结原则limcosx?01不存在。 x(3) f?(x)在x?0的任何邻域都不能保持相同符号。 事实上，对一切正整数k有
f?(而lim?11?13)???0,f?()??0 2k?22k???2?1?1?lim?0。故f在x?0的任何邻域内都不单调。
k??2k?k??2k???h?arctanh?h，其中h?0。 1?h25. 证明不等式：
证 设f(x)?arctanx，则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件， 于是???(0,h)，使得
arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?因为0???h，所以
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h
1??2hh??h
1?h21??2从而
h?arctanh?h。
1?h26. 设f(x)在[a,b]具有二阶导数，且f??(x)?0，证明对[a,b]内任意n个点x1,x2,?,xn有不等式
??f(x)?f(??x)
iiiii?1i?1nn其中?i?0(i?1,2,?,n),n??i?1ni?1。
证 记x???x，由Taylor展开
iii?1f(xi)?f(x)?f?(x)(xi?x)?f??(?i)(xi?x)2?f(x)?f?(x)(xi?x)
上式两边乘?i再求和
??f(x)?f(x)???f?(x)??(x?x)
iiiii注意到
??(x?x)???x?x???x?x?0，
iiiii于是
??f(x)??f(x)
ii
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