2011高考数学萃取精华30套（1）
1．重庆一模
21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2
? 抛物线方程为: y?4x………………………………………………（1分）
2由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1??22??1?1??4?2?22 ? a?1?? a?1?22222222??2?3?22? b?a?c?2?22? 椭圆方程为： x2………………………………（4分）
?y23?222?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2
? a??22?1? a??3?22? b??c??a??22?2? 双曲线方程为： x2222………………………………（6分）
?y23?2222?2?1（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H
令A?x1,y1?, ? C?? DC? CH?12AP?x1?32?x1?3y1,2?212??………………………………………………（7分） ?22?x1?3??y1?a?12
?x1?2a??3
? DH2?DC2?CH2?1212??x?3??y2????x?2a??3?11??4?14? ??a-2?x1?a?3a2当a?2时,DH2??4?6?2为定值;…………（12分）
? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?222．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点An?an,an?1?在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上。
（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式； （Ⅱ）若f?n?????an, ?n为奇数???bn, ?n为偶数?，问是否存在k?N，使f?k?27??4fk??成立，若
存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1??1???1???1????1?bbb1??2?n????ann?2?an?0成立，求正
数a的取值范围。
22．（14分）
解：（Ⅰ）将点An?an,an?1?代入y2?x?1中得
an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数?（Ⅱ）f?n???………………………………（5分）
??2n?1, ?n为偶数?…………………………………………（4分）
当k为偶数时，k?27为奇数， ? f?k?27??4f?k?? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4当k为奇数时，k?27为偶数，? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。352……………………（8分）
?舍去?（Ⅲ）由
an?1??1??1?1?1?1??1???????b1??b2?bn????ann?2?an?0
即a???1??1?1?1?1??1???????b1??b2?bn?2n?3??1???1??1?1?1?1??1???????b1??b2?bn?2n?3??1??1??1?1??1?1?1??1?1?????????b1??b2?bn??bn?1?2n?5??1??1???1???b2n?5?n?1?2n?3?12n?32n?5?2n?42n?3?2n?42n?5?2n?3记f?n?? f?nf?1??? ?n?1?f?n?4n4n22 ?? f? f?16n?16?16n?15?n?1??f?n?, 即f?n?递增，15?43?4515,?n?min?f?1??45? 0?a?15
………………………………（14分）
2．南京三模
21.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程; (2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,
延长线段ON交C于点E.
求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3. 21．（本小题满分12分）
?x??x,??解: (1)设点P(x, y), 点M的坐标为(x, y),由题意可知?………………(2分)
?y?2y,?又x??y??4,∴x?4y?4?所以, 点M的轨迹C的方程为
x22222x242?y2?1.
4(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0),
?y?1.………………(4分)
㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: x?my?3,
??x?my?3由?消去x,
22??x?4y?422得(m?4)y?23my?1?0………………①
∴y0??3mm?402,………………(6分)
3m22∴x0?my?3??m?4, ??3m?43m?422?43m?42,
∴点N的坐标为(43m?423mm?42).………………(8分)
83m?422①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(得
48(m2, ?23mm?42), 由点E在曲线C上,
2?4)2?12m(m222?4)?1, 即m?4m?32?0, ∴m224?8 (m2??4舍去).
由方程①得|y1?y2|?12m?4m?16又|x1?x2| ? |my1?my2?22m?4m?4| ? |m(y1?y2)|,
24m?12?1,
∴|AB| ? m2?1|y1?y2| ?3.………………(10分) ②若|AB| ?3, 由①得∴点N的坐标为(334(m?1)m?4662?3,∴m2?8.
22x (x?0),
, ?), 射线ON方程为: y???23?2x??x (x?0)236?y???3由? 解得? ∴点E的坐标为(, ?), 2336?x2?4y2?4?y????3?∴OE?2ON.
综上, OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.………………(12分)
22.（本小题满分14分）已知函数f(x)?(x?R). x4?211(1) 试证函数f(x)的图象关于点(, )对称;
241(2) 若数列{an}的通项公式为an?f(的前m项和Sm;
(3) 设数列{bn}满足: b1?设Tn?1b1?1?1b2?113nm) (m?N?, n?1, 2, ?,m), 求数列{an}, bn?1?bn?bn.
1bn?12???.
若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn?Tn恒成立, 试求m的最大值. 22．（本小题满分14分）
解: (1)设点P0(x0, y0)是函数f(x)的图象上任意一点, 其关于点(, )的对称点为
2411P(x, y).
?x??由??y???x?1?x0,?22 得? 1?y01?y??y0.?2?241所以, 点P的坐标为P(1?x0, ?y0).………………(2分)
21由点P0(x0, y0)在函数f(x)的图象上, 得y0?x.
40?2?x0?1
∵f(1?x0)?12?y0?12?141?x0?2??4x0x04?2?44x0x0?42(4x0x0?2), 12?y0)在函数f(x)的图象上.
14x0?22(412?2)141, ∴点P(1?x0, ∴函数f(x)的图象关于点(, )对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, f(x)?f(1?x)?即f(km)?f(m?km)?122, 所以f( , ?ak?am?k (1?k?m?1),
mm21?,………………(6分) 2)?f(1?)?kk1由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………… ① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ………………② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?11212?2am?m?12?2?16?m2?16,
(3m?1).………………(8分) 13,bn?1?bn?bn?bn(bn?1), ………………③
2(3) ∵b1?∴对任意的n?N?, bn?0. ………………④ 由③、④, 得∴Tn?(分)
∵bn?1?bn?bn?0, ?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. ∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2.
1144452(?1)?, b3?(?1)?,
33399981175?.………………(12分) ∴Tn?T2?3?b152121bn?11b2?1bn(bn?1)1b2?1b3?1bn?1bn?11?,即
1bn?11b1??1bn1?1bn?1.
11b1?)?()???(1bn?1bn)?bn?1?3?bn?1.……………(10
∵b1?,b2?∴Sm?分)
7552,即
112(3m?1)?7552,∴m?23839?6439, ∴m的最大值为6. ……………(14