《概率论与数理统计》作业答题纸
专业及班级 姓名 学号 成绩
习题三 多维随机变量及其分布
一、填空题 1．设X的分布律为
X01，且X与Y 独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y}
p0.50.51；
的分布律为Z0p0.250.75342．设 X,Y 为随机变量且P{X?0,Y?0}?,P{X?0}?P{Y?0},则
77P{max(X,Y)?0}?5； 73．设D是由曲线xy?1与直线y?0,x?1,x?e2围成的平面区域,二维随机变量
(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘分布在x?2处的值为ln2。 2114．设随机变量 X 与Y 相互独立，且P(X?1)?,P(Y?1)?,，则
231P(X?1,Y?1)?。
65．设随机变量(XY)的联合分布列为
Y X x1x219bx3 c 1 3y1 y2 a19若X,Y 相互独立， 则 a?121;b?;c?; 1896?ke?3x?4y,x?0,y?06. 设随机变量(X,Y)的联合密度为 f(x,y)??则k?
其它?0,12;P(0,X?1,0?Y?2)?1?e?31?e?8;
????7．设随机变量X,Y 相互独立，且服从同一分布，则P(X?Y)? 1/2 ; 1
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?1?3?x?3?y?3?x?y,x?0,y?08. 设随机变量(,XY)的联合分布函数为F(x,y)??
?0,2??3?x?y?ln3?,x?0,y?0则(X,Y)的联合密度函数是f(x,y)??；
??0,9．设随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan),(A?0)
22则A?1??B?C?；；； 2?22210．设随机变量(,XY)的联合密度为f(x,y)?Ae?ax?bxy?cy2，
当时a? ；b? ；c? ；，X 与Y 相互独立。11．设随机变量(,XY)的联合分布函数为
x??y?A(B?arctan)(C?e),x?R,y?0F(x,y)?? 2?0,其它?则（1）A?1；B??；C? 1 ；
?21?x （2）X 的边缘函数（?arctan）；Y的边缘函数1?e?y,y?0；
?22 （3）P(X?2,Y?1)??3； 4e1?1e?1?； ?4（4）P(0?X?2,0?Y?1)?（5）密度函数f(x,y)??21?4?x2e?y。
?(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)??,则 (X,Y)的联合分布函数 12．已知(X,Y)~?1111???4444??0?F(x,y)??1/4?1?x?0,y?00?x,y?0。 x,y?1 2
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3513．若P(max(X,Y)?1)?,P(X?1)?P(Y?1)?,,则P(min(X,Y)?1)?7/8。
8814．设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为p?0.25的两点分布,并记
?1,X?Y取奇数 Z??，0,X?Y不取奇数?则X与Z 的联合分布为 Z X 0 0 1 二、选择题
??101．设随机变量Xi~?11??421??1?,(i?1,2)，且满足P{X1X2?0}?1，则 4?1 1/16 3/16 9/16 3/16 P{X1?X2}?（ C ）
A. 0 B.
11 C. D. 1 422．设随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，
11P(X??1)?P(Y??1)?,P(X?1)?P(Y?1)?，
22则（ A ）成立。
1 ; B.P(X?Y)?1; 211C.P(X?Y?0)?; D.P(XY?1)?.
44A.P(X?Y)?3．若随机变量X,Y独立，分布函数分别为Fx(x),Fy(y),则(X,Y)的联合分布 函数为( A )
A .F(x,y)?Fx(x)Fy(y); B. F(x,y)?Fx(x)?Fy(y); C.F(x,y)?Fx(x)?Fy(y); D. F(x,y)?Fx(x)/Fy(y). 4. 设两个独立的随机变量 X和Y分别服从正态分布N(0,1),N(1,1)，则( B)
11 B. P(X?Y?1)? 2211C. P(X?Y?0)? D. P(X?Y?1)? .
22A.P(X?Y?0)? 3
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25．设随机变量X,Y独立，且X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2),则Z?X?Y仍服从正
态分布，且有（ D ）。
22 A．Z~N(?1??2,?12??2) B. Z~N(?1??2,?12??2); 22 C. Z~N(?1??2,?12??2); D. Z~N(?1??2,?12??2).
6. 设随机变量X,Y独立，且它们的分布函数分别为Fx(x)F,yy(，)则
Z?max{XY,的分布函数是（} C ）。
A．Fz(z)?max{Fx(x),Fy(y)}； B. Fz(z)?max{Fx(x),Fy(y)}; C. Fz(z)?Fx(x)Fy(y); D. Fz(z)?1?max{Fx(x),Fy(y)}. 三、解答题
1．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字 1、2、2、3. 从此袋中任取 一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律. Y 1 2 3 边缘 X 1 0 1 61 121 42 1 61 61 61 23 1 121 6边缘 1 41 21 40 14112． 设二维随机变量(X,Y)取数组(,?1),(0,2311a,b,,,试求：
361 11),(,),?(0,的概1),率分别为23（1）(X,Y)的联合分布律；
（2）确定常数a,b，使X和Y相互独立； （3）(X,Y)分别关于 X和Y 的边缘分布律。 (1)
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Y -1 1 3 X 0 1 61 2边缘 1a? 61b? 3a 1 31 61a? 3b b?边缘
1 因为：a+b+1/3+1/6=1,且P{X=0}P{Y=-1}=P{X=0,Y=-1} 所以：a+b=1/2,ab=1/18
所以：a=1/6,b=1/3或a=1/3,b=1/6
3． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5；以X,Y分别表示甲、乙的命中次数，试求X,Y的联合分布律。 Y 0 1 2 X 0 0.16 0.32 0.16 1 0.08 0.16 0.08 2 0.01 0.02 0.01 ?cxy,0?x,y?14． 设(X,Y)为二维随机变量，其联合概率密度为F(x,y)??
0,其它?试求：(1)常数c；
(2)P(X?0.5,Y?0.7);P(X?0.5),P(Y?0.7);； (3) (X,Y)的边缘概率密度。 (1) F(??,??)??1100?cxydxdy?1,所以c=4
0.50.70.50.700????0.5??P{X?0.5,Y?0.7}???f(x,y)dxdy???4xydxdy?0.1225,0.51（2）P{X?0.5}???????0.7??f(x,y)dxdy???4xydxdy?0.25,0010.700
P{Y?0.7}????????f(x,y)dxdy???4xydxdy?0.49（3）fX(x)??f(x,y)dy?2x
??
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