《概率论与数理统计》作业答题纸
专业及班级 姓名 学号 成绩
?2?y?0, fY?y?? 0?y?2, fY?y?????????f?x,y?dx?11dx??2?y?. ?44?y22???11f?x,y?dx??dx??2?y?
44y 于是可得X,Y的边缘概率密度为
?x?, fX?x???2??0,0?x?2 其它?1?y?2?4?2?y?,0??1?y?0. fY?y????2?y?,?2?40,其它???（3）由于f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以不独立
1?1/4??(2?y)/42?yy?x?2f(x,y)?（4）fXY(xy)? 1??1/4??y?x?2fY(y)?(2?y)/42?y?0其他?fXY(x1)?2x?8x fY(1)?2e?(x?2y),x?0,y?017． 设X,Y的联合密度函数为f(x,y)??
其它?0,(1) X与Y相互独立吗?为什么? (2) 试求P(X?1,y?2);；
(3) 试求 fXY(x1),fXY(xy),其中y?2. 解 : (1) x?0, fX?x?? y?0, fY?y?????????f?x,y?dy????2e0??x?2y?dy?e?x;
???f?x,y?dx????2e0??x?2y?dx?2e?2y.
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于是可得X,Y的边缘概率密度为
?e?x,x?0 fX?x???
?0,其它?2e?2y,y?0 fY?y???
其它?0,于是f?x,y??fX?x?fY?y?,从而X与Y相互独立 (2) X与Y相互独立, 故P(X?1,Y?2)?P(X?1)P(Y?2)
?1?1 ??edx?2e?2ydy??1??4.
?e?e02?x1??(3)fXY(xy)?2e?(x?2y)2e?2y??e?x????0x?0x?0
f(x,1)2e?(x?2)fXY(x1)???e?x
fY(1)2e?218． 设随机变量X~Exp(1),当已知X?x时，Y~U(0,x)其中x?0．试求X,Y的联合密度函数 。
19．设X,Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1).试求
Z?X?Y的分布函数与密度函数．
解: X,Y相互独立, 都服从均匀分布U(0,1),则概率密度函数分别为
?1, fX?x????0,0?x?1?1,0?y?1, fY?y??? 其它0,其它?根据卷积公式可得Z?X?Y的密度函数为 fZ?z???????f??x?fXY x?z?xd只有满足0?x?1,0?z?x?1时,被积函数fX?x?fY?z?x??1非零.下面据此讨论 当z?0,fZ?z??0;.当z?2,fZ?z??0;
当0?z?1,fZ?z???dx?z;当1?z?2,fZ?z??0z1z?1?dx?2?z.
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于是综上可得密度函数为
0?z?1?z,??z?2 fZ?z???2?z,1?0,其它?再由分布函数FZ?z?????f?z?dz可知,
Zz1 z?0,F 0?z?1,Fz?zdz?z?0;????ZZ?201zz2 z;1 1?z?2,FZ?z???zdz???2?z?dz??z2?2z?1;
201 z?2,FZ?z???zdz???2?z?dz?1;
0112????从而FZ?z???2??z?2??0,z2,2z?00?z?1
?2z?1,1?z?21,z?220．设X,Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布. 证明Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布. 证明: 将随机变量X,Y,Z的取值分别记为i,j,k,则有
i? P?X???1ii!??1e,i?0,1,?2, , P?Y??j??2jj!??2e,j?0,1,?2, ,且Z?X?Y的可能取值为所有的非负整数k?0,1,2,?,于是根据X,Y相互独立 有 P?Z?kPX?Y??k?????i?0kk?PX,?i?Y? ?ki ??P?X??i?PY?k?? ii?0 13
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??i?0k?1ii!e??1?k?i?!?2?k?i?e??2
?e???1??2?k!k!?1i?2?k?i? ?i?0i!?k?i?!kk
?1??2???k!e???1??2?,k?0,1,2,?,
由此可见Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.
21．设X,Y相互独立，X~N(2,1),Y~1,2) 试求Z?2X?Y?3的密度函数． 有问题
22．设 X,Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从N(0,1)．试求
Z?X2?Y2 的分布函数与密度函数. fX(x)?12?x2?e2,fY(y)?12?y2?e2,f(x,y)?12?x2?y2?2, e0z?0???z2/2Fz(z)?P(X2?Y2?z)??f(x,y)dxdy?1?e???22?X?Y?zz?0
z?0?0? 2Fz(z)?fz(z)???z/2z?0?ze??FZ?z??PX2?Y2?z??????0,z?0fZ?z????z22,z?0??ze??0,z?0X2?Y2?z??f?x,y?dxdxy?1?e?z22,z?0
23．用卡车装水泥，设每袋水泥的重量(单位：千克)服从正态分布N(50,2.52) (1) 卡车装了 60 袋水泥，试求水泥总重量Y的密度函数[提示：
Y?X...?X60,X1,X2,...独立同分布，且都服从X,N(50,2.52)]； 1?X2?(2) 要使卡车上水泥总重量超过 2000 千克的概率不大于 0.05．问最多应该装多少袋水泥?
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?Xi~N(50,2.52)(i?1,?60),?Y~N(50?60,2.52?60)?N(3000,375)(1)
?fY(y)?12?*515(y?3000)2?2?375?e1530?(y?3000)2?750e
(2)
P{Y?2000}?0.05?1?P{Y?2000}?0.05?P{Y?2000}?0.952000?50X1??2000n即P{nXi?2000}?0.95(i?1,?n)?P{X1?}?0.95?P{?}?0.95n?2.52000?50n??()?0.952.52000?50?n?1.65?n?362.524．设随机变量X在1、2、3、4 四个整数中等可能地取值,而随机变量Y在
1~X中等可能地取一个整数.求：（1）X?2时,Y的条件分布律；（2）Y?1时,X的条件分布律.
11P{X?i,Y?j}?P{Y?jX?i}P{X?i}??,i?1,2,3,4,j?i
i4Y 1 2 3 4 边缘 (1) Y=k X 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 4 1/16 1/16 1/16 边缘 25/48 1/12 0 1/16 1 2 1/2 3 0 4 0 P{Y?kX?2} 1/2 (2) X=k 1 2 6/25 3 4/25 4 3/25 P{X?kY?1} 12/25 15