??2?0d???2????1???f??cos?,?sin??? d?
模型II：设有界闭区域D????,???????,0????????
其中????在??,??上连续，f?x,y??f??cos?,?sin??在D上连续，则
??f?x,y?d????f??cos?,?sin??? d? d?
DD ????d??????0f??cos?,?sin??? d?
模型III：设有界闭区域D????,??0???2?,0????????
其中????在?0,2??上连续，f?x,y??f??cos?,?sin??在D上连续，则
s,?sin??? d? d? ??f?x,y?d????f??co?DD2? ?
?0d??????0f??cos?,?sin??? d?
（四）．二重积分在几何上的应用
1．空间物体的体积
V????f?x,y??f?x,y??d?
21D 其中D为闭曲面S在xy平面上投影区域z?f2?x,y?为上半曲面，z?f1?x,y?为下半曲面。
2．空间曲面的面积 A???D??z???z??1???????d? ?x?y????22 其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程z?z?x,y?
B 典型例题
（一）．直角坐标系中二重积分的计算
例1．计算
??xydxdy，其中D是由曲线xy?1，x?y?D5所围区域。 2
解：
??xydxdy??dx?D1225?x21xxydy
212??51?? ??1?x??x???dx
22?x????2?21?2525314? ??x?x?x?lnx?1
2?834?2 ?165?ln2 128 例2．计算
???xD2?y2dxdy其中D是以y?x，y?x?a，y?a和y?3a ?a?0??为边的平行四边形区域。 例3．计算
??yD2dxdy其中D是由摆线x?a?t?sint?，
y?a?1?cost? ?0?t?2??的第一拱和x轴所围区域。
例4．计算
x?y?1???x?y?dxdy
y?x2dxdy
例5．计算
x?10?y?2??
例6．计算
?y??edxdy，其中D由y?x，y?1和y轴所围区域。 D2 例7．计算
sinydxdy其中D由y?x和y?x所围区域。 ??yD（二）．极坐标系中二重积分的计算
例1．计算
22D其中由x?y?2ax?a?0?与x轴围成上半圆区域。 ydxdy??D
解：D在极坐标系里0?????2，0?r?2acos?，
??ydxdy??D20d??2acos?0rsin??rdr
?1232acos? ??rsin?d?
0308a3 ?3??20cos3?sin? d?
22 ??a3cos4?2?a3
330
?（三）．交换积分顺序
例1．交换
?20dx?f?x,y?dy的积分顺序
x2x
解：原式???f?x,y?dxdy
D 其中D由y?x，y?2x和x?2所围的区域。 按另一积分顺序把二重积分化累次积分 原式??20dy?yf?x,y?dx??dy?yf?x,y?dx
222y42 例2．交换
?2?6dx?x242?x?1f?x,y?dy的积分顺序
例3．交换
?dx?122x?x22?xf?x,y?dy的积分顺序
例4．交换
?2a0dx?2ax2ax?x2f?x,y?dy的积分顺序?a?0?
例5．交换
?2?0dx?sinx0f?x,y?dy的积分顺序
（四）．二重积分在几何上的应用