?P?x,y?dx?Q?x,y?dy ??ABL 第二类曲线积分有时也用向量形式表示F?dS，这时向量 F??P?x,y?,Q?x,y??，
?LdS??dx,dy?，用向量点乘概念 F?dS?P?x,y?dx?Q?x,y?dy
另外，平面曲线L是封闭曲线时，它的定向用逆时针方向或顺时针方向加以指明。
?，函数P?x,y,z?，Q?x,y,z?， 空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线L?ABR?x,y,z?在L上皆有定义，把L任意分成n段，?S1,?S2,?,?Sn，在?Sk?1?k?n?上
起点坐标为?xk?1,yk?1,zk?1?，终点坐标?xk,yk,zk?（按L的定向决定起点和终点）令
?xk?xk?xk?1，?yk?yk?yk?1，?zk?zk?zk?1，?1?k?n?再在?Sk上任意一点
??k,?k,sk?考虑极限
lim??0??P??k?1nk,?k,sk??xk?Q??k,?k,sk??yk?R??k,?k,sk??zk?
其中?仍是n段弧长中最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为P?x,y,z?，Q?x,y,z?和R?x,y,z?对空间曲线L的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以
?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz
它的向量形式为 ?F?dS
LL 其中 F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?? dS??dx,dy,dz?
如果L是空间封闭曲线也要说明L的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方针，必须用其他方式加以说明。
2．参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间有向曲线L的参数方程x?x?t?，y?y?t?，z?z?t?，起点A对应参数为?，终点B对应参数为?（注意：现在?和?的大小不一定???）如果P?x,y,z?，Q?x,y,z?，
R?x,y,z?皆连续，又x??t?，y??t?，z??t?也都连续，则
?L??ABP?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz
???P?x?t?,y?t?,z?t??x??t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y??t??R?x?t?,y?t?,z?t??z??t??dt
?? 这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。
（三）．两类曲线积分之间的关系
1．平面情形
?平面上一个逐段光滑有定向的曲线，P?x,y?，Q?x,y?在L上连续，则 设L?AB
?P?x,y?dx?Q?x,y?dy???P?x,y?cos??Q?x,y?cos??ds
?AB?AB 其中cos?，cos?为曲线弧在点?x,y?处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。
2．空间情形
设L?AB为空间一条逐段光滑有定向的曲线，P?x,y,z?，Q?x,y,z?，R?x,y,z?在L上连续，则
???ABP?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz
???P?x,y,z?cos??Q?x,y,z?cos??R?x,y,z?cos??ds
?AB 其中cos?，cos?，cos?为曲线弧AB上点?x,y,z?处沿定向A到B方向的切线的
?方向余弦。
（四）．格林公式
关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1．（单连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围成的单连通区域。当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数P?x,y?，Q?x,y?在D上有连续的一阶偏导数，则有
??Q?P??????x??y??dxdy??LPdx?Qdy
?D?
定理2．（多连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D是?n?1?连通区域（也即有n个“洞”），它的边界
L?C0?C1???Cn，其中C0的定向为逆时针方向，C1,?,Cn定向皆为顺时针方向，
仍符合沿L的正定向移动时区域D在它的左边这个原则。
函数P?x,y?，Q?x,y?在D上有连续的一阶偏导数，则
??Q?P???D???x??y??dxdy??LPdx?Qdy ?? ?
?C0 Pdx?Qdy???Pdx?Qdyk?1Ckn（五）．平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件
设F?P?x,y?,Q?x,y??的分量P?x,y?，Q?x,y?在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等价。
1．对D内任意一条逐段光滑闭曲线L，都有 2．任意L?AB在D内，则
?Pdx?Qdy?0
L???AB?Pdx?Qdy只依赖于起点A和终点B，与曲线L?AB的取法无关，称为曲线积分与路径无关。 3．P?x,y?dx?Q?x,y?dy?du?x,y?成立。 4．D内处处有
?Q?P?成立。 ?x?y 5．向量场F?P?x,y?,Q?x,y??是有势场，即存在二元函数V?x,y?，具有F??gradV，
V?x,y?称为势函数，具有P??
B 典型例题
（一）、用参数公式直接计算 例．计算曲线积分 I??V?V，Q??。 ?x?y?(z?x)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,
L?x2?y2?1 其中L是曲线?，从Z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。
?x?y?z?222 解：曲线L是圆柱面x?y?1和平面x?y?z?2的交线，是一个椭圆周，它的参
数方程（不是唯一的选法）最简单可取x?cos?，y?sin?，
z?2?x?y?2?cos??sin?，根据题意规定L的定向，则?从2?变到0，于是
I??02???2?cos????sin?????2?2cos??sin??cos???cos??sin???sin??cos???d? ????co?s??2co2s??1?d? ???2?sin20 ??2?
（二）、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1．求I???eLxsiny?b?x?y?dx?excosy?axdy，其中a，b为正的常数，L???为从点?2a,0?沿曲线y?2ax?x2到点?0,0?的弧
解一：用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段L1，它为从?0,0?沿y?0到?2a,0?的有向直线。这样L?L1构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 I??L?L1Pdx?Qdy??Pdx?Qdy?I1?I2，
L1 令exsiny?b?x?y??P excosy?ax?Q，根据格林公式 I1???????Q?P??Pdx?Qdy??L?L1????x??y??dxd y?D? ??2??b?adxd?ya?b?a? ??D2 这里D为由L和L1围成的上半圆区域。 另外，在L1上，y?0，dy?0，故 I2??L1Pdx?Qdy??2a0??bx?dx??2a2b
于是I?I1?I2???????2?a2b?a3
2?2?