培优点五 导数的应用
1．利用导数判断单调性
例1：求函数f?x???x3?3x2?3x?3?e?x的单调区间 【答案】见解析
【解析】第一步：先确定定义域，f?x?定义域为R，
第二步：求导：f'?x???3x2?6x?3?e?x??x3?3x2?3x?3?e?x???x3?9x?e?x ??x?x?3??x?3?e?x，
第三步：令f??x??0，即?x?x?3??x?3?e?x?0， 第四步：处理恒正恒负的因式，可得x?x?3??x?3??0， 第五步：求解x???3,0??3,???，列出表格
2．函数的极值
例2：求函数f(x)?xe?x的极值．
1【答案】f?x?的极大值为f?1??，无极小值
e【解析】f'?x??e?x?xe?x??1?x?e?x
令f'?x??0解得：x?1，?f?x?的单调区间为：
1?f?x?的极大值为f?1??，无极小值．
e
3．利用导数判断函数的最值 例3：已知函数f?x??lnx?【答案】?3e
【解析】思路一：函数f?x?的定义域为?0,???，f??x??当f??x??0时，
1m??0， xx21m?． xx2m?m?R?在区间?1,e?上取得最小值4，则m?___________． x当m?0时，f??x??0，f?x?为增函数，所以f(x)min?f(1)??m?4，m??4，矛盾舍去； 当m?0时，若x??0,?m?，f??x??0，f?x?为减函数，若x???m,???，f??x??0，f?x?为增函数，
所以f??m??ln??m??1为极小值，也是最小值；
①当?m?1，即?1?m?0时，f?x?在[1,e]上单调递增，所以f(x)min?f(1)??m?4， 所以m??4（矛盾）；
②当?m?e，即m??e时，f?x?在[1,e]上单调递减，f?x?min?f?e??1?所以m??3e；
③当1??m?e，即?e?m??1时，f?x?在[1,e]上的最小值为f??m??ln??m??1?4， 此时m??e3??e（矛盾）． 综上m??3e． 思路二：f'?x??1mx?m?2?2，令导数f'?x??0?x??m，考虑最小值点只有可能在边xxxm?4， e界点与极值点处取得，因此可假设x?m，x?1，x?e分别为函数的最小值点，求出m后再检验即可．
一、单选题
1．函数f?x??x?lnx的单调递减区间为（ ） A． ?0,1? C． ?1,??? 【答案】A
【解析】函数y?x?lnx的导数为y??1?11，令y'?1??0，得x?1，
xx
B． ?0,??? D． ???,0??1,???
∴结合函数的定义域，得当x??0,1?时，函数为单调减函数． 因此，函数y?x?lnx的单调递减区间是 ?0,1?．故选A． 2．若x?1是函数f?x??ax?lnx的极值点，则（ ） A．f?x?有极大值?1 C．f?x?有极大值0 【答案】A
1【解析】因为x?1是函数f?x??ax?lnx的极值点，所以f??1??0，?a??0，?a??1，
1?f??x???1?1?0?x?1．当x?1时，f??x??0；当0?x?1时，f??x??0，因此f?x?xB．f?x?有极小值?1 D．f?x?有极小值0
有极大值?1，故选A．
a3．已知函数f?x???x3?ax在???,?1?上单调递减，且g?x??2x?在区间?1,2?上既有最
x大值，又有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A．a??2 【答案】C
【解析】因为函数f?x???x3?ax在???,?1?上单调递减，
所以f'?x???3x2?a?0对于一切x????,?1?恒成立，得?3x2?a，?a??3，
B．a??3 C．?3?a??2 D．?3?a??2
a又因为g?x??2x?在区间?1,2?上既有最大值，又有最小值，
x所以，可知g'?x??2?a在?1,2?上有零点， x2a?0，在?1,2?上解得a??2x2， 2x也就是极值点，即有解2?可得?8?a??2，??3?a??2，故选C．
4．函数y?x3?x2?mx?1是R上的单调函数，则m的范围是（ ） ．．．．?1?A．?,???
?3?1??B．???,?
3???1?C．?,???
?3?1??D．???,?
3??【答案】C
【解析】若函数y?x3?x2?mx?1是R上的单调函数，只需y'?3x2?2x?m?0恒成立， 即Δ?4?12m?0，?m?1．故选C． 3?1?x?5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数y?ln???sinx的图象大致为（ ）
1?x??A．【答案】A
B． C． D．
?1?x??1?x?1?xln?【解析】由y?ln?其定义域为即?1?x?1，f??x?? ?0，??sinx，??sinx，
1?x1?x1?x????则f??x??f?x??0函数为奇函数，故排除C、D， f??x???2?cosx?0，则函数在定义域内单调递减，排除B，故选A．
1?x1?x????16．函数f?x??x3?ax2?2x?1在x??1,2?内存在极值点，则（ ）
311A．??a?
22
11B．??a?
22
11C．a??或a?
22
11D．a??或a?
22【答案】A
1【解析】若函数f?x??x3?ax2?2x?1在x??1,2?无极值点，则f'?x??x2?2ax?2?0或
3f'?x??x2?2ax?2?0在x??1,2?恒成立．
①当f'?x??x2?2ax?2?0在x??1,2?恒成立时，?a?1时，f??1??2a?1?0，得a??a?2时，f??2??4a+2?0，得a??；
1；2②当f'?x??x2?2ax?2?0在x??1,2?恒成立时，则f??1??2a?1?0且f'?2??4a+2?0，1得a??；
21111综上，无极值时a??或a?．∴在??a?在x??1,2?存在极值．故选A．
22227．已知f?x??ax2?2x?a，x?R，若函数g?x??x3??a2?2?x?f?x?在区间??1,3?上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A．a??1或a?3 【答案】D
【解析】因为g??x??3x2?2ax?a2，函数g?x??x3??a2?2?x?f?x?在区间??1,3?上单调递减，
所以g??x??0在区间??1,3?上恒成立，
2???a?2a?3?0?g???1??0只需?解得a??9或a?3，故选D． ，即?2???a?6a?27?0?g??3??0B．a??1或a?3 C．a??9或a?3 D．a??9或a?3
?3?8．函数y?f?x?在定义域??,3?内可导，其图像如图所示．记y?f?x?的导函数为
?2?y?f??x?，则不等式f??x??0的解集为（ ）