?1?A．??,1??3??2,3?
?1?B．??1,??2??48??3,3? ??
?31?C．??,??22??1,2?
?31?D．??,???23??14??2,3????4??3,3? ??【答案】A
?1??1?【解析】由图象知??,1?和?2,3?上f?x?递减，因此f'?x??0的解集为??,1??3??3??2,3?．故
选A．
19．设函数f?x??x?lnx?x?0?，则y?f?x?（ ）
3?1?A．在区间?,1?，?1,e?内均有零点
?e??1?B．在区间?,1?，?1,e?内均无零点
?e??1?C．在区间?,1?内有零点，在区间?1,e?内无零点
?e??1?D．在区间?,1?内无零点，在区间?1,e?内有零点
?e?【答案】D
11[3,???单调递增，f??x???，【解析】f?x?的定义域为?0,???，f?x?在?0,3?单调递减，
3x?1?当在区间?,1?上时，f?x?在其上单调，
?e??1??,1?上无零点， ?e??1?11f????1?0，f?1???0，故f?x?在区间
3?e?3e
e1当在区间?1,e?上时，f?x?在其上单调，f?e???1?0，f?1???0，故f?x?在区间?1,e?33上有零点． 故选D．
10．若函数f?x??x3?3ax2?3?a?2?x?1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（ ） A．?1?a?2 【答案】D 【解析】
f?x??x3?3ax2?3?a?2?x?1，?f??x??3x2?6ax?3?a?2?，
B．?1?a?2 C．a??1或a?2 D．a??1或a?2
函数f?x??x3?3ax2?3?a?2?x?1既有极大值又有极小值，
?f??x??3x2?6ax?3?a?2??0有两个不等的实数根，
?Δ?36a2?36?a?2??0，a2?a?2?0，则a??1或a?2，故选D．
11．已知函数f?x??x3?2ax2?3bx?c的两个极值点分别在??1,0?与?0,1?内，则2a?b的取值范围是（ ） ?33?A．??,?
?22??3?B．??,1?
?2??13?C．??,?
?22??3?D．?1,?
?2?【答案】A
【解析】由函数f?x??x3?2ax2?3bx?c，?求导f'?x??3x2?4ax?3b，
f?x?的两个极值点分别在区间??1,0?与?0,1?内，?由3x2?4ax?3b?0的两个根分别在
?f'?0??0?区间?0,1?与??1,0?内，??f'??1??0 ，
?f'?1??0??3b?0?令z?2a?b，?转化为在约束条件为?3?4a?3b?0时，求z?2a?b的取值范围，
?3?4a?3b?0?可行域如下阴影（不包括边界），
?目标函数转化为z?2a?b，?由图可知，z在A?,0?处取得最大值，在B??,0?处
2?4??4??33?3?z?2a?b的取值范围??,?．取得最小值?，可行域不包含边界，本题选择A选项．
2?22??3?3?3?12．设函数y?f?x?在区间?a,b?上的导函数为f??x?，f??x?在区间?a,b?上的导函数为
f???x?，若在区间
?a,b?上f???x??0，则称函数f?x?在区间?a,b?上为“凹函数”，已知
f?x??151x?mx4?2x2在区间?1,3?上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（ ） 201231??A．???,?
9???31?B．?,5?
?9?C．???,5? D．???,?3?
【答案】D
14mx315142【解析】∵f?x??∴f??x??x?∴f???x??x3?mx2?4， ?4x，x?mx?2x，
201243∵函数在区间?1,3?上为“凹函数”∴f???x??0， ∴x3?mx2?4?0在?1,3?上恒成立，即m?x?∵y?x?故选D．
二、填空题
13．函数f?x??2x3?2x2在区间??1,2?上的最大值是___________． 【答案】8
4在?1,3?上恒成立． 2x441,3在上为单调增函数，∴x??1?4??3，∴m??3， ??x2x2
【解析】f??x??6x2?4x?2x?3x?2?，已知x???1,2?， 当2?x?当0?x?2或?1?x?0时，f??x??0，f?x?在该区间是增函数， 32时，f??x??0，f?x?在该区间是减函数， 3故函数在x?0处取极大值，f?0??0，又f?2??8，故f?x?的最大值是8．
14．若函数f?x??x3?ax2?3x?4a3在???,?1?，?2,???上都是单调增函数，则实数a的取值集合是______． ?15?【答案】??3,?
4??【解析】f?x??x3?ax2?3x?4a3，f??x??3x2?2ax?3，
函数f?x??x3?ax2?3x?4a3在???,?1?，?2,???上都是单调增函数，
则f???1??0，即3?2a?3?0，解得a??3，f??2??0，即15?4a?0，解得a??15??15?则实数a的取值集合是??3,?，故答案为??3,?．
4?4???15， 415．函数f?x??x2?alnx?1?a?R?在?1,2?内不存在极值点，则a的取值范围是___________． 【答案】a?2或a?8
【解析】函数f?x??x2?alnx?1?a?R?在?1,2?内不存在极值点
?f?x??x2?alnx?1?a?R?在?1,2?内单调?函数f??x??0或f??x??0?a?R?在?1,2?内
恒成立， 由f??x??2x?a?0在?1,2?内恒成立?a?2x2x??min，x??1,2?，即a?2，
同理可得a?8，故答案为a?2或a?8． 16．已知函数f?x??ex?alnx， ① 当a?1时，f?x?有最大值；
② 对于任意的a?0，函数f?x?是?0,???上的增函数；
③ 对于任意的a?0，函数f?x?一定存在最小值； ④ 对于任意的a?0，都有f?x??0．
其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③
【解析】由函数的解析式可得：f'?x??ex?a11，当a?1时，f'?x??ex?，f''?x??ex?2，xxxf''?x?单调递增，且f???1??e?1?0，
据此可知当x?1时，f'?x??0，f?x?单调递增，函数没有最大值，说法①错误； 当a?0时，函数y?ex，y?alnx均为单调递增函数，则函数f?x?是?0,???上的增函数，说法②正确；
当a?0时，f'?x??ex?a单调递增，且f'??a??e?a?1?0， xa??且当lim?ex???0，据此可知存在x0??0,?a?，
x?0x??
在区间?0,x0?上，f'?x??0，f?x?单调递减； 在区间?x0,???上，f'?x??0，f?x?单调递增； 函数f?x?在x?x0处取得最小值，说法③正确； 当a?1时，f?x??ex?lnx，
由于e?5??0,1?，故ee??1,e?，f?e?5??ee?lne?5?ee?5?0，说法④错误；
?5?5?5综上可得：正确结论的序号是②③．
三、解答题
17．已知函数f?x??lnx?ax?a?R? （1）讨论函数f?x?在?0,???上的单调性； （2）证明：ex?e2lnx?0恒成立．