20.（本小题满分12分）
a1?2,a2?4,bn?an?1?an,bn?1?2bn?2. 求证：
⑴ 数列{bn+2}是公比为2的等比数列； ⑵ an?2n?1?2n； ⑶
a1?a2???an?2n?2?n(n?1)?4.
解： ⑴ bn?1?2?2(bn?2) ?bn?1?2bn?2?2
b1?a2?a1?2 b2?2b2?2?6
数列{bn+2}是首项为4公比为2的等比数列； （4分） ⑵由⑴知 bn?2?4?2?bn?2n?1n?1?2n?1
?2
n?12an?1?an?23?2
?a2?a1?2?2
a3?a2?2?2
??
an?an?1?2n?2
23n上列（n-1）式子累加：an?2?(2?2???2)?2n
?an?2n?1?2n （4分）
23n?1⑶a1?a2???an?(2?2???2?a1?a2???an?2n?2)?2n(n?1)2.
?n(n?1)?4 （4分）
ax?bx?cx?d3221. （本小题满分12分）已知函数f?x??y?f(x)过原点
在x?0处取得极值，曲线
?2xO（0，0）和点P（-1，2），若曲线y?f(x)在P处的切线l与直线y的夹角为45?，且l的倾斜角为钝角. （1）求f?x?的解析式； （2）若y?f(x)在区间[2m?1,m?1]上是增函数，求实数m的取值范围.
（3）若x1,x2?[?1,1]，求证：|f(x1)?f(x2)|?4．
解：（1）? 曲线y?f(x)过原点，?d?0.
2? f?(x)?3ax?2bx?c,且x?0是f(x)的极值点，
?f?(0)?0,?c?0，
?过点P（-1，2）的切线l的斜率为f?(?1)?3a?2b，
2?f?(?1)1?2f?(?1)13由夹角公式得：?1?f?(?1)??3或f?(?1)?13
?切线l的倾斜角为钝角，?f?(?1)??f(?1)??2??a?b?2,得?
?f(?1)??33a?2b??3??舍去．
由??a?132?? 故f(x)?x?3x ....................... （5分） ?b?32（2）f?(x)?3x?6x?3x(x?2)，
令f?(x)?0即x(x?2)?0?x?0或x??2
?f(x)的增区间为(??,?2]和[0,??). ?f(x)在区间[2m?1,m?1]上是增函数，
? [2m?1,m?1]?(??,?2]或[2m?1,m?1]?[0,??)；
?m?1??2?2m?1?0或?? ?
2m?1?m?12m?1?m?1??? m??3或12?m?2 ................... （8分）
2（3）令f?(x)?3x?6x?3x(x?2)?0?x?0或x??2，
?f(0)?0f,?(1?)f2,?(1) ，
?f(x)在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，
故对任意x1,x2?[?1,1]，有|f(x1)?f(x2)|?M?N?4?0?4 ...... （12分）
22．（本小题满分14分）已知定义在R上的函数
f(m?n)?f(m)f(n)f(x)，对任意的实数m、n,都有
成立，且当x?0时，有f(x)?1成立.
（1）求f(0)的值，并证明当x?0时，有0?f(x)?1成立；
f(x)（2）判断函数在R上的单调性，并证明你的结论；
（3）若
f(1)?2，数列{an}满足an?f(n)(n?N)，记Sn?*1a1?1a2???1an，且对
一切正整数n有
f(1?m)?2Sn恒成立，求实数m的取值范围.
解：（Ⅰ）令m?0,n?1，得f(1)?f(0)f(1)，
由题意得f(1)?1，所以f(0)?1. ??????2分
若x?0，则f(x)f(?x)?f(x?x)?f(0)?1，
1f(?x)∴ f(x)?.由已知f(?x)?1，得0?f(x)?1． ????4分
（Ⅱ）任取x1,x2?R且设x1?x2， 由已知和（Ⅰ）得f(x)?0(x?R)， ∴
f(x1)f(x2)?f(x1?x2?x2)f(x2)?f(x1?x2)， ????5分
?x1?x2?0，∴f(x1?x2)?1，∴f(x1)?f(x2)．??????6分
所以函数f(x)在R上是增函数. ????????7分
anan?1f(n)f(n?1) （Ⅲ）??f(1)?2，∴数列{an}是首项为2, 公比为2的等比数列. 1n[1?()]1111n22???????1?(). ??9分
1a1a2an21?21∴an?2. Snn又对一切正整数n，有f(1?m)?2Sn恒成立， 即f(1?m)?2恒成立．??????11分
又f(1)?2， ∴ f(1?m)?f(1)恒成立.??????12分 又由（Ⅱ）得1?m?1，解得m的取值范围是m?0. ????13分 所以m的取值范围是{m| m?0} ????????14分。