解：遵照列写微分方程的一般步骤有：
1.确定输入量为F(t),输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。
2.设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。
3.按牛顿第二定律列写原始方程，即
?F?F(t)?Fk(t)?Ff(t)?mdy(t)dt22 4.写中间变量与输出量的关系式
Fk(t)??ky(t)Ff(t)??fdy(t)dt 5.将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得
mdy(t)dt22??ky(t)?fdy(t)dt?F(t)6.整理方程得标准形
mdy(t)kdt22?fdy(t)kdt?y(t)?1kF(t)令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为
T2mdy(t)dt22?Tfdy(t)dt?y(t)?1kF(t)2.2.3 电路系统举例
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
L-R-C网络 ur?L?didt?i?R?uC
i?C?u?c
?L?C?u?c??R?C?u?c?uc
? u???cRL??uc1LCuc?1LCur ── 2阶线性定常微分方程
2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征
观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 列写微分方程式时，一般按以下几点来写：
1.输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；
2.左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件； 3.方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。
4.方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。 §2.3 非线性数学模型线性化 3.2.1 线性化意义和常用方法 ? 为什么要线性化？
1.实际对象总存在一定的非线性 2.线性系统具有较完整的理论 ? 线性化条件
1.实际工作情况在某平衡点附近(静态工作点) 2.变量变化是小范围的
3.函数值与各阶导数连续,至少在运行范围内如此。
满足上述条件，则工作点附近小范围内各变量关系近似线性 ? 线性化方法 1.泰勒级数展开 2.取线性部分
? 线性化定义：是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高
a0dc(t)dtnn?a1dn?1c(t)?b0dtmdr(t)dtmn?1???an?1?b1dc(t)dtm?1dr(t)dtm?1?anc(t)dr(t)dt?bmr(t)???bm?1阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 ：
当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 ：
其中 K ? x10 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线
dx1dfx2?f(x10)?dfdx1x10x2?f(x1)?f(x10)??1df2!dx122dfdx12x10(x1?x10)(x1?x10)?? x10(x1?x10)?x20?K(x1?x10) 代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
例 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化 方程。
y(x)?E0cos[x(t)]解：在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y(x)?y(x0)?y?(x0)(x?x0)?12!y??(x0)(x?x0)??2取一次近似，且令
?y(x)?y(x)?y(x0)??E0sinx0?(x?x0)既有 ?y??Esinx??x00
§ 2-4 线性系统的传递函数 一.复习拉氏变换及其性质 1.定义
X(s)???0x(t)e?stdt记 X(s) = L[x(t)] 2.进行拉氏变换的条件
(1) t ? 0，x(t)=0；当t ? 0，x(t)是分段连续；
(2) 当t充分大后满足不等式 ? x(t)? ? Mect,M,c是常数。 3.性质和定理 (1)线性性质
L[ ax1(t) + bx2(t)] = aX1(s) + bX2(s)
(2)微分定理
?dx(t)?L??sX(s)?x(0)??dt??d2x(t)?2?(0)L???sX(s)?sx(0)?x2dt??? (0? ?若 x ( 0 ) ? x ) ? 0 ， 则：
?dx(t)?L??sX(s)??dt??d2x(t)?2L???sX(s)2?dt?…
?dnx(t)?nL???sX(s)n?dt?(3)积分定律
LL1??x(t)dt??1X(s)?xss(?1)(0)???x(t)dt??s12X(s)?1s2x(?1)(0)?1sx(?2)(0)
若x?1(0)= x?2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，
L??x?t?dt??1X?s?s???x?t?dt??s1…
2LX?s?
??1L?????x?t?dt??nX?s??????sn??(4)终值定理
若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：
(5)初值定理
如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且 lim sX ( s ) 存在，则 s??
(6)延迟定理
L[ x(t ? ?)?1(t ? ?)] = e??sX(s)
L[e?at x(t)] = X(s + a)
(7)尺度变换
(8)卷积定理
tX1(s)?X2(s)?L??x1(t??)x2(?)d?????0?limx(t)?limsX(s)t??s?0x(0?)?limsX(s)s????t??L?x????aX(as)??a??