4.举例
例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：
X(s)?L?x(t)?? ??1se?st?0??0e?stdt?1s例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。 解：
??X(s)?L?x(t)??tse?st?0??0te?stdte?st???1s0dt?1s2例2-5 求正弦函数x(t) = sinωt 的拉氏变换。 解：
??sin?t??ej?t?e2j?j?tX?s???ej?t?e2j?j?t0e?stdt1?11????2j?s?j?s?j???s??22例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A?1(t) ? A?1(t ?t0 )
X(s)?As?Ase?t0s?A 0?t?t0x(t)???0 t?0,t?t0?As(1?e?t0s)例2-7 求e at 的拉氏变换。 解:
X(s)???ee0at?stdt?1a?se(a?s)t?0?1s?a
X(s)?L1(t)e?at??1s?a例2-8 求e ?0.2 t 的拉氏变换。 解：
例2-9 L ?x ( t )? ? 1 求x(0)， x(?)。
s?ass?aLe????t?0.2t1s?1?t5Le???L?e????5??5s?1 解： x(0)?limsX(s)?lims??s???1
二.复习拉氏反变换
x(?)?limsX(s)?lims?0s?0ss?a?0 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)
x(t)?L?1?X(s)??2?j??1??j??j?X(s)edt (t?0)st 2.求拉氏反变换的方法
① 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 ② 查表法 ③部分分式法
一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即
通常m < n，a1 , … , an； b0 , … , bm 均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有
X(s)?B(s)A(s)?b0s?b1ss?a1snmm?1???bm?1s?bmn?1???an?1s?an
X(s)?b0s?b1smm?1???bm?1s?bm(s?s1)(s?s2)?(s?sn)式中s1 , … , sn是 A(s) = 0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论： (1) A(s) = 0无重根。
X(s)?c1(s?s1)?c2(s?s2)??cn(s?sn)n??(s?s)i?1ici式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
?1ci?lim(s?si)X(s)s?si?nci?x(t)?L[X(s)]?L????(s?s)i??i?1?1n?ceii?1sit(2) A(s) = 0有重根。设有r个重根s1 ，则
cr?j?1X(s)?rB(s)(s?s1)(s?sr?1)?(s?sn)cr(s?s1)rn ??cr?1(s?s1)r?1??c1(s?s1)?i?r?1?(s?s)ici j ! s? s ds j = 0,1, …, r-1
1limd(j)[(s?s1)X(s)](j)r
s ? s) i = r+1, …, n c i ? lim s ( i) X ( s s ?i
x(t)?L[X(s)]?cr?stcr?1r?1r?2 ??t?t???c2t?c1?e1(r?2)!?(r?1)!?n?1 ??ceii?r?1sit 3. 举例
s)? 2 ，求原函数x(t)。 例2-10 X (
s?4s?3s?2
解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)
例2-11 求 X ( s ) ? 2 的原函数x(t)。
s?2s?2s?3?x(t)?c1?lim(s?3)X(s)?lims??3s??3X(s)?s?2(s?3)(s?1)?c1s?3?c2s?112s?2s?1?c2?lim(s?1)X(s)?lims??1s?2s?3s??1?1212(e?3t?e)?t
解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 ? j)
) ? 2 的原函数x(t)。 例2-12 求 X ( s
s(s?1)(s?3)c1s?1s?2x(t)?L ?e?1X(s)?s?3?s?1?j??s?1?j??s?1?j?X(s)??s?1?j?X(s)??c1s?1?j?c2s?1?jc1?lim?4?j?2j?4?j2js??1?jc2?lims??1?j?X(s)??4?j2je??1?j?t??4?j2je??1?j?t?t?cost?4sint?
X(s)?c2(s?1)2??c3s?c4s?3
2.4.1. 线性常系数微分方程的求解
用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1.对微分方程两边进行拉氏变换。
2.求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3.求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。
例2-13 求解方程：
dy(t)dt222s??1c4?lim?s?3?X(s)?s??3112c3?limsX(s)?s?0231234112c2?lim?s?1?X(s)??ddsc1?lims??1??s?1?12?t2X(s)????x(t)??e(t?23)?23?e?3t?3dy(t)dt?2y(t)?5?1(t)初始条件：y(0)= ?1, y?(0) =2
解：两边取拉氏变换
s2Y(s) ? sy(0) ? y?(0) + 3sY(s) ? 3y(0) +2Y(s)=5/s
Y(s)? ?5/s?s?2?3s?3s?25/2s?5s?1?2??s?s?5s(s?3s?2)22??s?s?5s(s?1)(s?2)23/2s?2y(t) = 5/2 ? 5 e? t + 3/2 e?2t