参考答案
一、填空题
1．(??,0)?(2,??) 2．2 3．3
4．?0,1,3,4,6? 5．7 6．?0,1? 7．?1?a?2 38．1?m?3 9．0?a?1 10．3 11．二、解答题
15．（1）A={x|0 ?3,2?2,5 12．1 13．13 14．915 ???333} （2）A?B=[,1] A?CRB=（0,） 44421?ax16．解：（1）?函数f(x)?是奇函数，则f(?x)??f(x) x?b 1?a??x?1?ax2???,?a?0,??x?b??x?b,?b?0………（3分） ?x?bx?b2又函数f(x)的图像经过点（1，3），?f(1)?3,?∴a=2 ……（6分） 1?a?3,?b?0, 1?b1?2x21?2x??x?0?………（7分） （2）由（1）知f(x)?xx当x?0时，2x? 111?22x??22,当且仅当2x?, xxx 即x?2时取等号…（10分） 2 当x?0时，??2x??111?2??2x???22,?2x???22 ?x?xx 6 当且仅当(?2x)?12,即x??时取等号……………（13分） ?x2 综上可知函数f(x)的值域为??,?22?22,??…………（12分） ????17．依题意，得f?(1)?tan ?4,即3m?1?1,m?132. 3因为f(1)?n,所以n??.…………6分 2 （II）令f?(x)?2x?1?0,得x??2.…………8分 2 当?1?x??2时,f?(x)?2x2?1?0; 2 当?22?x?时,f?(x)?2x2?1?0; 22 当 2?x?3时,f?(x)?2x2?1?0; 212222,f(?)?,f()??,f(3)?15. 323232?f(x)?15.…………12分 3 又f(?1)? 因此， 当x?[?1,3]时,?要使得不等式f(x)?k?1993对于x?[?1,3]恒成立，则k?15?1993?2008. 所以，存在最小的正整数k?2008.使得不等式f(x)?k?1993对于x?[?1,3]恒成立 18．（1）由f(0)?2可知c?2，……………………………1分 又A??1，2?，故1，2是方程ax2?(b?1)x?c?0的两实根. 1-b? 1+2=??a??,…………………3分 解得a?1,b??2…………4分 c?2=??a ?f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1,x???2,2? 当x?1时，f(x)min?f(1)?1,即m?1……………………………5分 7 当x??2时，f(x)max?f(?2)?10,即M?10.……………………………6分 （2）由题意知，方程ax2?(b?1)x?c?0有两相等实根x=2, x=1 1?b?1?1???b?1?2a?a∴ ?， 即? ……………………………8分 cc?a??2??a?∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x∈[-2,2] 其对称轴方程为x= 14a?1?1? 2a2a 又a≥1，故1- 1?1??,1?……………………………9分 2a??2?∴M=f（-2）=9a-2 …………………………10分 2a?11)?1? ……………………………11分 2a4a1g（a）=M+m=9a--1 ……………………………14分 4am=f( 又g(a)在区间?1,???上为单调递增的，?当a?1时，g(a)min=?3163 . ………16分 4419．由于 3xDNDC?,则AM＝ x?2 ANAM 3x2故SAMPN＝AN?AM＝ …………4分 x?23x2（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， x?22因为x >2，所以3x?32x?64?0，即（3x－8）（x－8）> 0 从而2?x?8 或 x?8 383 即AN长的取值范围是(2，)?(8，+?)…………8分 3x26x(x?2)?3x23（xx?4)?（2）令y＝，则y′＝ ………… 10分 22x?2(x?2)(x?2)3x2因为当x?[3,4)时，y′< 0，所以函数y＝在[3,4)上为单调递减函数， x?23x2从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米， x?28 此时AN＝3米，AM=9米 …………15 20．1）当b?0时，f?x??ax2?4x，…………………………………………………1分 若a?0，f?x???4x，则f?x?在???,2?上单调递减，符合题意；………3分 若a?0，要使f?x?在???,2?上单调递减， ?a?0,?必须满足?4 ……………………………………………………………………5分 ?2,??2a ∴0?a?1．综上所述，a的取值范围是?0,1? …………………………………6分 （2）若a?0，f?x???24?2b?b2x，则f?x?无最大值，………………………7分 故a?0，∴f?x?为二次函数， ?a?0,要使f?x?有最大值，必须满足?即a?0且1?5?b?1?5，…8分 24?2b?b?0,?2此时，x0?4?2b?b时，f?x?有最大值．………………………………………分 a 又g?x?取最小值时，x0?a，………………………………………………………分 224?2b?b依题意，有?a?Z，则a2?4?2b?b2?5??b?1?，…………分 a∵a?0且1?5?b?1?5，∴0?a2?5?a?Z?，得a??1，………………分 此时b??1或b?3． ∴满足条件的整数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?．……………………………12分 （3）当整数对是??1,?1?,??1,3?时，f?x???x2?2x ?h(x?2)?h(x)，?h(x)是以2为周期的周期函数，………………………分 又当x???2,0?时，,构造h(x)如下：当x??2k?2,2k?,k?Z，则， h?x??h?x?2k??f?x?2k????x?2k??2?x?2k?， 2故h?x????x?2k??2?x?2k?,x??2k?2,2k?,k?Z.… 2 附加题参考答案 1．证明：（放缩法）? ?????????????解：不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图所示的空 9 1111111??...????...? n?1n?22n2n2n2n2间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）， 11，C1（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0） A1（1，0，1） 22?????????112．（1）因为A1D?(?1,0,?1),EF?(?,?,0),所以 22?????A1D?(?1)2?0?(?1)2?2 ????112 EF?(?)2?(?)2?0?222?????????11A1D?EF??0?0?22??????????可知向量A与的夹角为 60EFD1因此A1D与EF所成角的大小为60 ?????AB?（2）在正方体ABCD?A平面B1C1CB,所以AB是平面B1EB1BC11D1中，因为 的法向量 因为 AB?(1,1,0)?(1,0,0)?(0,1,0) ???? ?????11A1F?(0,,0)?(1,0,1)?(?1,,?1) 22?????????3?????????1?????????1所以AB?1,A1F?, A1F?AB?，由cos?A1F,AB??，所以可得向量之间 223的夹角约为19.47 ? ?????（3）因为AC1?平面B1D1C，所以AC1是平面B1D1C的法向量，因为 ???????????????????????????AC1?(?1,1,1),AC?(?1,1,0),AC1?3,AC?2,AC1?AC?2 ?????????6?所以cos?AC1,AC??，所以可得两向量的夹角为35.26 3根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为35.26 ? 3．（1）由x?1?1t,得t?2x?2 2 ?y?2?3(2x?2) 2 ?3x?y?2?3?0，此方程表示直线 （2）由y?2?t，得t?y?2 ?x?1?(y?2)2 10 即(y?2)2?x?1，此方程表示抛物线 4．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 C321P(A)?2?. ………………………………4分 C65 （2）ξ可取1，2，3，4． 111C3C3C313P(??1)?1?,P(??2)?1?1?C62C6C510， 1111111C3C3C3C3C2C2C131；………………8分 P(??3)?1?1?1?,P(??4)?1?1?1?1?C6C5C420C6C5C4C320故ξ的分布列为 ξ 1 P 2 3 4 33110 20 20 13317E??1??2??3??4??. 210202047答：ξ的数学期望为. ………………………………10分 412 11