量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
3 自旋算符与Pauli矩阵
??L??i?L? 考虑自旋具有角动量的特征，由L???S??i?S? 有自旋S满足角动量的定义: S① 分量间的对易关系：
?sxsy?sysx?i?sz??sysz?szsy?i?sx ??szsx?sxsz?i?sy即[S?,S?]?????i?S?,且[S2,S?]?0,??x,y,z.
S2的本征值：S2?s(s?1)?2,
s为自旋量子数（与轨道量子数l对应）
Sz的本征值：Sz?ms?
给定一个s为，mm取值2s+1个：
ms??s,?s?1,?,s?1,s
若s=1/2（如电子），则ms?此时S?211,?， 22113(?1)?2??2，这是个定值！? 224需要注意：
既然z的方向可在空间任意取，而Sz???/2， 我们有理由认为Sx???/2，Sy???/2。 但Sx，Sy与Sz不能同时有确定值。？ 另外注意几个基本概念：
? ①自旋角动量算符 S②自旋角动量量子数 s 对电子s?1/2 ③自旋磁量子数 ms??s,?s?1,?,s?1,s
?2 ④自旋角动量平方算符 S本征值为常数 s(s?1)?
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? ⑤自旋角动量分量算符 Sz本征值为 ms?
量子数与本征值不是一回事！ ②Pauli算符的引进
?（无量纲） 为方便地描述自旋算符的作用，特引进Pauli算符?????? s2而由[S?,S?]?????i?S?，知
[??,??]?????2i??
即[?x,?y]?2i?z，…或
?????2i?? ?由定义可知，?x，?y，?z的本征值皆为±1，即
22?x??y??z2?1（单位算符）
而由[??,??]?????2i??，知
?y?z??z?y?2i?x
用?y分别左、右乘上式，有
?z??y?z?y?2i?y?x ?y?z?y??z?2i?x?y
以上两式相加，得?x?y??y?x?0。 同理可得
??x?y??y?x?0???y?z??z?y?0 ???z?x??x?z?0上式称为Pauli算符的反对易关系 以上三式与下式对应式相加
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???x?y??y?x?2i?z??y?z??z?y?2i??x ??z?x??x?z?2i?y可以得到
???x?y???y?x?i?z??y?z???z?y?i?x ???z?x???x?z?i?y从而可以得到
?x?y?z?i
以上这些对易和反对易关系应学会灵活运用。 下面看这些算符如何表达。
由于角动量算符是厄米算符，而s???2??，显然 ?????? 即??也为厄米算符，从而可以用矩阵来表示。 自旋算符的表示称为Pauli矩阵。 如何写出？ 应放在具体表象中！ 采用?z的对角化表象：
根据??的定义，由?z的本征值为±1，则
??10?z????0?1??? 根据?2?1和厄米性要求???ab???xx??x，令?x????a??cd???，则?x???b?由反对称关系?z?x??x?z?0， 即
??10??ab???ab??10?0?1??????cd?????????cd??????0?1??? ?a?d?0。
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c??d???，?
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这样?x???c??0b???。但根据厄米性要求?x??x， ?0???0b??0b??0c??2???。但??即?，所以c?b，即?x???1，即 x*?c0????????b0???b0???2b0??0b??0b?????I ?*??*???b0??b0??2??????0b?这样|b|2?1。由于b是个复数，故可令b?e（?为实数）， 所以c?b?e??i?i?，故
?0?x???i??e?习惯上取??0，此时
ei??? 0???x???10?? ???z的关系，比如??x与??y，??y??i??z??x，可得 利用??01??y???i?这样有
?0?i?? ?0??x???i?10??，?y?????以上三式称为Pauli矩阵，应用很广泛。
?01??0?i??10????， ??z???0??0?1?下面以电子为例，介绍自旋算符、Pauli矩阵等在处理全同粒子体系时的应用。 §8.4 自旋单态和三重态
在原子物理中知道，碱金属光谱有四个线系： 主线系；
漫线系（第一辅线系）； 锐线系（第二辅线系）； 基线系（柏格曼线系）
在氦原子光谱中也有相应的这四个线系，所不同的是氦光谱中每一个线系都是双份的： 一份是细线（单重线，紫外区）
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一份是粗线（三重线，红外区）
下面就介绍氦原子光谱的单线和三重线 1、氦原子光谱的单线和三重线
历史上曾把单线和三线视为两种成份的氦：
S=0 （单线） 仲氦 parahelium S=1 （三线） 正氦 orthohelium
实际上所有双价原子都有这种现象。
这两个价电子各种性质都相同，故称为全同粒子。
而正氦和仲氦的出现，则是全同二电子系统不同量子组态产生的效应。 对此系统进行研究，常采用如下近似： 不考虑核的运动(B-O近似)，忽略L-S耦合， 此时，波函数空间部分和自旋部分可以分离， 由于全同性原理：
两电子体系波函数必须是反对称的，即
??A(r1,r2)?S(Sz,Sz)?? ?A(r1Sz,r2Sz)?????(r,r)?(S,S)?S12Azz121212??因此，但从自旋看，两电子自旋波函数可有对称、反对称之分。 2、二电子体系的自旋波函数
忽略L-S耦合，只有自旋与自旋间的相互作用，但电子自旋波函数可记为
?m(Sz)，ms??
s12其中?1(Sz)??，?2?12(Sz)??。
既然只考虑自旋与自旋间的相互作用，令
??s?1?s?2 S
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