量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
显然
?,S?]?0，?,??x,y,z。 [S1?2?而总自旋分量满足
?,S?]?i?S?，[S?,S?]?i?S?，[S?,S?]?i?S? [Sxyzyzxzxy?2?S?2?S?2?S?2，显然 又Sxyz?2,S?]?0，(??x,y,z) [S?问题：可否选为力学量完全集？
?,S?)或(S?2,S?)作为自旋力学量由于对电子体系自旋自由度为2，所以可以选择(S1z2zz完全集。
已知S1z的本征态为?(1),?(1)
S2z的本征态为?(2),?(2)，
则（S1z，S2z）的本征态有四个
?(1)?(2)，?(1)?(2)，?(1)?(2)，?(2)?(1)
由Sz?S1z?S1z可知，它们也应是Sz的共同本征态，相应的本征值分别取为
?,??,0,0
现在考察上述四态是否S的本征态。 因为
2?2?(s?1?s?2)2?s?12?s?2?1?s?2S?2s2
32??2???(?1x?2x??1y?2y??1z?2z)422利用
?x????10????0?????1????
???????01??1??0??y????i??0?i??1??0????????i? ?????0??0??i? 6
量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
?z????0?1????0?????0????
??????以及
?10??1??1??01??0??1??x????10????1?????0????
???????y????i??0?i??0???i?????????i? ?????0??1??0??10??0??0??z????0?1????1??????1?????
??????考虑到?1只对?(1)，?(1)作用
?2只对?(2)，?(2)作用
容易得到
22??S?(1)?(2)?2??(1)?(2) ?22?S?(1)?(2)?2??(1)?(2)? 故?(1)?(2)，?(1)?(2)都是都是S的本征态。
但是对Sz?0的两个本征态?(1)?(2)，?(2)?(1)，它们都不是S的本征态。 但我们可以通过适当的线性组合，使之构成对称和反对称自旋波函数，即
22
?S??A?则有
1[?(1)?(2)??(2)?(1)] 21[?(1)?(2)??(2)?(1)] 2S2?S?2?2?S S2?A?0??A
故?S，?A是S的本征态，本征值分别为2?和0。 利用S?s(s?1)?，
对于前者s?1，对应于三重态，为对称波函数
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2222量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
其对称自旋波函数为
?(1)??S??(1)?(2)??(2) ??S??(1)?(2)?1(3)??S?[?(1)?(2)??(2)?(1)]?2?对于后者s?0，对应于单态，为反对称态
?A?1[?(1)?(2)??(2)?(1)] 2总结：两个电子的自旋单态和三重态
(S2,Sz)的共同本征态 (1)?S??(1)?(2) (2)?S??(1)?(2) 总自旋S 1 1 S2 2?2 2?2 2?2 mS 1 －1 Sz ? －? (3)?S?1212[?(1)?(2)??(2)?(1)] 1 0 0 ?A?[?(1)?(2)??(2)?(1)] 0 0 0 0 作业：P238 1,3,8
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