第2讲 空间中的平行与垂直
考情解读 1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理
线面平行的判定定理 线面平行的性质定理 线面垂直的判定定理 a∥b??b?α??a∥α a?α?? a∥α??a?β??a∥b α∩β＝b?? a?α，b?α?a∩b＝O???l⊥α l⊥a，l⊥b??a⊥α????a∥b ?b⊥α? 线面垂直的性质定理 2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理 面面垂直的判定定理 a⊥α????α⊥β a?β?? 面面垂直的性质定理 α⊥βa?αa⊥cα∩β＝c????a⊥β ??
面面平行的判定定理 ??b?β??α∥β a∩b＝O?a∥α，b∥α?α∥βa?β 面面平行的性质定理 ??α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b?? 提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3．平行关系及垂直关系的转化
热点一 空间线面位置关系的判定
例1 (1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C．若a∥α且a∥β，则α∥β D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
思维启迪 判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定． 答案 (1)D (2)D
解析 (1)A：应该是b∥α或b?α；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D. (2)若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.
若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( ) A．①③ C．①④ 答案 D
解析 ①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误； ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，所以③错误； ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确． 故选D.
热点二 平行、垂直关系的证明
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
思维启迪 (1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD易证；(3)EF是△CPD的中位线．
证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD.
B．②③ D．②④
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.
思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD
为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG. ∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝1
2DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝1
2
DE，∴GF＝AB.
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 热点三 图形的折叠问题
例3 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．
思维启迪 折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ. (1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB.
(2)证明 由图(1)得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC， 所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE， 所以A1F⊥BE.
(3)解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又因为DE∥BC，