所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
π
如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F
2
分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点．
(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；
(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式． (1)证明 作DH⊥EF，垂足为H，连接BH，GH，
因为平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，DH?平面AEFD， 所以DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH. 1
因为EH＝AD＝BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°，
2所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH.
又BH，DH?平面DBH，且BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH. 又BD?平面DBH，故EG⊥BD.
(2)解 因为AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，AE?平面AEFD， 所以AE⊥平面EBCF.
由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，
所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE，故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高DH
＝AE＝x.
11
又S△BCF＝BC·BE＝×4×(4－x)＝8－2x，
221
所以三棱锥D－BCF的体积f(x)＝S△BFC·DH
311＝S△BFC·AE＝(8－2x)x 3328
＝－x2＋x(0 33 1．证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明； (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明． 2．证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3．证明面面平行的方法 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； (2)利用勾股定理逆定理； (3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5．证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直； (3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 真题感悟 1．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案 B 解析 方法一 若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错； 若m⊥α，n?α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确； 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，C错； 若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n?α，D错． 方法二 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α. A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α， 但m与n是相交直线，故A错． B项中，m⊥α，n?α， ∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确． C项中，若m为AA′，n为AB， 满足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C错． D项中，若m为A′B′，n为B′C′， 满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错． 2．(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点． (1)求证：EF⊥平面BCG； (2)求三棱锥D－BCG的体积． 1 附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高． 3(1)证明 由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC. 又G为AD的中点，所以CG⊥AD. 同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC. 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. (2)解 在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O. 由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC. 又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半． 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3， 1 所以VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h 31131＝×BD·BC·sin 120°·＝. 3222押题精练 1.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题： ①PA∥平面MOB； ②MO∥平面PAC； ③OC⊥平面PAC； ④平面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④ 解析 ①错误，PA?平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC. 2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？并证明你的结论． (1)证明 如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以B1C1⊥面ABB1A1. 因为A1B?面ABB1A1， 所以B1C1⊥A1B. 又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1， 所以A1B⊥面ADC1B1. 因为A1B?面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE. (2)解 当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE. 证明如下： 取C1D1中点F，连接EF，B1F 1 易知：EF∥C1D，且EF＝C1D. 2 1 设AB1∩A1B＝O，连接OE，则B1O∥C1D且B1O＝C1D， 2所以EF∥B1O且EF＝B1O， 所以四边形B1OEF为平行四边形． 所以B1F∥OE. 又因为B1F?面A1BE，OE?面A1BE. 所以B1F∥面A1BE. (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 答案 D 解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D. 2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ) A．α⊥β，且m?α C．α⊥β，且m∥α 答案 B 解析 根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m?α?m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误． 3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( ) A．BD∥平面CB1D1 C．AC1⊥平面CB1D1 答案 D 解析 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四边形DD1B1B为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为BD?面CB1D1，B1D1?面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1， B．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，且n∥β B．A1C⊥BD D．AC1⊥BD1