11111Tn?2?()2?3?()3?4?()4?K?(n?1)()n?1 22222112131n1n?1由①-②得Tn?1?()?()?K?()?(n?1)()-------9分
2222211[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?112221? -------12分 2n?3?Tn?3?n2120．解：(1)由f(x)?kx?x2?x?1?kx, 则k?x??1, ??????2分
x1又g(x)?x??1在?0,1?上是增函数, g(x)max?g(1)?1 ? ???5分
x所以k?1. ?????????????????? 6分
(2) f(x)?xn?xn?1??x?1(x?(0,??),n?N,n?2)是增函数????? 8分
且f(1)?n?1?0， ????????9分
111f()?()n?()n?1?222?1??2?11(1?()n)12?1??(1)n?0 ????? 11分 ??1?21221?2所以f(x)在?,1?内存在唯一的零点. ???????????????12分
x2y2??1 ???2分 21．解：(1)由题意得c?3,可设椭圆方程为2b?3b213x22?2?1，解得b?1所以椭圆C的方程为?y2?1.???4分 则2b?34b4（2）?y?x?m,22y消去得:5x?8mx?4(m?1)?0 22?x?4y?4?0.?则??16(5?m)?0?0?m?5
228m4(m2?1)x1?x2??,x1x2? ???????? 5分
55设d为点O到直线l的距离,则S?OPQ?11mdPQ???2x1?x2 ? 6分 222122m2?5?m222?m(x1?x2)?4x1x2??m?5?m???1 2552 - 6 -
当且仅当m?25时，等号成立 所以?OPQ面积的最大值为1. ??8分 2(2)?y?kx?m,222y消去得:(1?4k)x?8kmx?4(m?1)?0 22?x?4y?4?0.?则??64k2m2?16(1?4k2)(m2?1)?16(4k2?m2?1)?0
8km4(m2?1)x1?x2??,x1x2? 221?4k1?4k故y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2 ??????? 9分 因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列
y1y2k2x1x2?km(x1?x2)?m2所以???k2?km(x1?x2)?m2?0 ??? 10分
x1x2x1x2118k2m222k??k?????m?0m?0,,由于故 ???????12分
421?4k2a (x?0)，又f(x)在x?2处的切线方程为y?x?b x?2?b??2?aln2a 所以 ? 解得：a?2, b??2ln2 ???4分 2??1?2?（2）当a?0时，f(x)在定义域(0,??)上恒大于0，此时方程无解；??5分
a当a?0时，f?(x)?x??0在(0,??)上恒成立，
x所以f(x)在定义域(0,??)上为增函数。
22．解：（1）因为：f?(x)?x?11?f(1)??0，f(e2)?ea?1?0，所以方程有惟一解。??6分
22ax2?a(x?a)(x?a)当a?0时，f?(x)?x?? ?xxx因为当x?(0,a)时，f?(x)?0，f(x)在(0,a)内为减函数；
当x?(a,??)时，f(x)在(a,??)内为增函数。 所以当x?12a时，有极小值即为最小值f(a)?11a?alna?a(1?lna)?7分 22当a?(0,e)时，f(a)?当a?e时，f(a)?1a(1?lna)?0，此方程无解； 21a(1?lna)?0.此方程有惟一解x?a。 21当a?(e,??)时，f(a)?a(1?lna)?0
211因为f()??0且1?a，所以方程f(x)?0在区间(0,a)上有惟一解，
22因为当x?1时，(x?lnx)??0，所以 x?lnx?1
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121x?alnx?x2?ax 22122因为 2a?a?1，所以 f(x)?(2a)?2a?0
2所以 方程f(x)?0在区间(a,??)上有惟一解。
所以方程f(x)?0在区间(e,??)上有惟两解。 ??11分 综上所述：当a?[0,e)时，方程无解；
当a?0或a?e时，方程有惟一解；
当a?e时方程有两解。 ??12分
所以 x?lnx,f(x)?
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