于是,f(x)min=f(e)?e?ae≥e?1,矛盾.
4(ii)?a?0,即0?a?1,由f?(x)的单调性和值域知,
4存在唯一x0?(e,e2),使f?(x0)?0,且满足:
当x?(e,x0)时,f?(x)?0,f(x)为减函数;当x?(x0,e2)时,f?(x)?0,f(x)为增函数; 所以,f(x)min=f(x0)?x0?ax0≤1,x0?(e,e2). lnx04所以,a?1?1?12?1?1?1?1,与0?a?1矛盾.
lnx04x0lne4e2444综上,得a≥1?12 24e22. (Ⅰ)解:根据表中数据,表述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系的函数决不是单调函数,这与函数
f(x)?ax?b,f(x)?a?bx,f(x)?a?logbx均具有单调性不符,所以,在a?0的前提下,可选取二
次函数f(x)?ax2+bx?c进行描述 把表格提供的三对数据代入该解析式得到: 64a?8b?c?836a?6b?c?4 解得a?1,b??12,c?40 4a?2b?c?20所以,黄瓜价格f(x)与上市时间x的函数关系是
f(x)?x2?12x?40.x??0,8?
(Ⅱ)解:设函数g(x)?h?x??f(x)?e?x?2mx?1,求导,结果见下表.
x2g??x??ex?2x?2m,继续对g??x?求导得g???x??ex?2
表格如下: ?0,ln2? ? 减 ln2 ?ln2,??? ? 增 g???x? 0 极小值 g??x? 由上表可知g??x??g??ln2?,而
g??ln2??eln2?2ln2?2m?2?2ln2?2m?2?m?ln2?1?,由m>ln2?1知 g??ln2?>0,所以g??x?>0,即g?x?在区间?0,???上为增函数
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于是有g?x?>g?0?,而g?0??e0?02?2m?0?1?0, 故g?x?>0,即当m>ln2?1且x>0时,e>x?2mx?1.
x2即h(x)?f(x)
23. (Ⅰ)f?(x)?2x?a?b, xa2?b?0.
∵x?2是函数f(x)的极值点,∴f?(2)?4?∵1是函数f(x)的零点,得f(1)?1?b?0,
a??4??b?0,由?解得a?6,b??1 2??1?b?0,∴f(x)?x2?x?6lnx,f?(x)?2x?'6?1, x62x2?x?6(2x?3)(x?2)令f(x)?2x??1???0,x?(0,??),得x?2;
xxx令f'(x)?0得0?x?2,
所以f(x)在(0,2)上单调递减;在?2,???上单调递增 故函数f(x)至多有两个零点,其中1?(0,2),x0?(2,??),
e2因为f?2??f?1??0,f?3??6?1?ln3??0,f?4??6?2?ln4??6ln?0,
4所以x0??3,4?,故n?3
(Ⅱ)令g(b)?xb?x2?alnx,b???2,?1?,则g(b)为关于b的一次函数且为增函数, 根据题意,对任意b???2,?1?,都存在x?(1,e),使得f(x)?0成立, 则g(b)max?g(?1)?x2?x?alnx?0在(1,e)上有解,
令h(x)?x2?x?alnx,只需存在x0?(1,e)使得h(x0)?0即可,
a2x2?x?a由于h(x)=2x?1??,
xx'令?(x)?2x2?x?a,x?(1,e),??(x)?4x?1?0,
∴?(x)在(1,e)上单调递增,?(x)??(1)?1?a,
①当1?a≥0,即a≤1时,?(x)?0,即h?(x)?0,h(x)在(1,e)上单调递增, ∴h(x)?h(1)?0,不符合题意.
②当1?a?0,即a?1时,?(1)?1?a?0,?(e)?2e2?e?a
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若a?2e2?e?1,则?(e)?0,所以在(1,e)上?(x)?0恒成立,即h?(x)?0恒成立, ∴h(x)在(1,e)上单调递减,
∴存在x0?(1,e),使得h(x0)?h(1)?0,符合题意.
若2e2?e?a?1,则?(e)?0,∴在(1,e)上一定存在实数m,使得?(m)?0, ∴在(1,m)上?(x)?0恒成立,即h?(x)?0恒成立, h(x)在(1,m)上单调递减, ∴存在x0?(1,m),使得h(x0)?h(1)?0,符合题意.
综上所述,当a?1时,对任意b???2,?1?,都存在x?(1,e),使得f(x)?0成立.
(Ⅱ)方法二
a2x2?bx?af(x)?2x??b?,x?(1,e),
xx'设g?x??2x2?bx?a,x??1,e?,
因为b???2,?1?,所以g?x?在?1,e?上单调递增,且g?1??2?b?a, (1)当g?1??0,即a?2?b时,因为b???2,?1?,所以a?0.
此时g?x??g?1??0,所以f??x??0在(1,e)上恒成立;即f?x?在(1,e)上单调递增. 若存在x?(1,e),使得f(x)?0成立,则f?1??1?b?0,即b??1恒成立. 因为b???2,?1?,则b??1时不成立,所以a?0不成立 (2)因为b???2,?1?,所以f?1??1?b?0,
当g?1??0,即a?2?b时,因为b???2,?1?,所以a?1.此时,
(i)当g?e??0时,g?x??0在(1,e)上恒成立,则f?x?在(1,e)上单调递减. 因为f?1??0,所以存在x?(1,e),使得f(x)?0成立.
(ii)当g?e??0时,则存在x0??1,e?,使得g?x0??0,因为g?x?在?1,e?上单调递增, 所以当x??1,x0?时,g?x??0,则f?x?在(1,x0)上单调递减; 因为f?1??0,故在?1,x0?内存在x?(1,e),使得f(x)?0成立. 综上:满足条件的a的取值范围为a?1
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24.解析:(Ⅰ)
f??x??1?2x?x?a???x?a?
x?a由题意, f??0??0 解得a?1 (Ⅱ)构造函数h(x)?ln?x?1??x2?x????5?x?b??x??0,2??,则 ?2??4x2?x?54x2?x?5(4x?5)(x?1)=- h?(x)???2(x?1)2?x?1?2?x?1?令 h?(x)?0 得 x=-5/4,或x=1 又知x??0,2?
∴ 当0?x?1时,函数h(x)单调递增,当1?x?2函数h(x)单调递减 方程f(x)??点,则只需
5x?b在区间?0，2?上有两个不同的实根,等价于函数h(x)在?0，2?上有两个不同的零2?h(0)??b?0?b?0??31??即 h(1)?ln2?1??b?0b?ln2???22?????b?ln3?1?h(2)?ln3?4?3?b?0∴ 所求实数b的取值范围是ln3?1?b?ln2?25.本小题满分12分
1 2
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26.
a2x2?(2a?1)x?a(2x?1)(x?a)g?(x)?2x?(2a?1)????0
xxx当a?1,x??1,e?,g?(x)?0,g(x)单调增.g(x)min??2a 当1?a?e,
x?(1,a),g?(x)?0,g(x)2单调减.
x?(a,e),g?(x)?0,g(x)单调
增.g(x)min?g(a)??a?a?alna 当
a?e,
x??1,e?,g?(x)?0,g(x)单调减,
g(x)min?g(e)?e2?(2a?1)e?a
?2a,a?1??g(x)???a2?a?alna,1?a?e
?e2?(2a?1)e?a,a?e?(Ⅲ)令h(x)?lnx?12(x?1), 4第20页，共29页