(5)本题涉及猜想,分类,跳跃归纳,加强归纳,调整法,放缩以及联想探索等能力,是训练学生的较好题目.
(6)受n?5的启发,我们也可以直接归纳,问题化归为(n?1)a1?an?1,求
(n?1)a12?an2?2a1n?1an2的最小值,设
a1?11?x,an??(n?1)x,同样我们得到,只nnn11?1?n(n?1)x?2(?x)n?1(?(n?1)x)?2??要证明nn?n?. ?1?n(n?1)x?2??我们依旧分类讨论,当?n?时,移项平方,我们只要证明
2n11?1?1114(?x)n?1(?(n?1)x?(2???n(n?1)x2)2(?x)n?1?()n?1?(n?1)()n?2x,将nnnnn?n??1??1??1?n(n?1)x2?2??2(n?1)n???4(n?1)2??代入,且注意到?n?,我们只要证明?n??n?nnn?2n,
成立
(7) 取等条件为全相等或者一个等于0,由此比较两个最小值,觉得系数2比较适合.
(8)题目思想来源:(全国高中数学联赛)实数a,b,c满足a?b?c?1,abc?0,求证:
ab?bc?ca?abc1?. 24发现:一正二负的情况,不妨设a?0,b,c?0,则
ab?bc?ca?b(a?c)?ac?b(1?b)?0,我们只要考查a,b,c?0情形,经化归
?2ab?2bc?2ca?abc?a2?b2?c2?11,即证明?(a?b?c)2?(a2?b2?c)2?abc?221ab?c(*).下面证之:不妨设a不变,则21a2?b2?c2?abc?a2?(1?a)2?2bc?abc?(*)以bc为元的开口向下的21?a抛物线,知道bc?0,取得最小值,c?0时,可知不等式成立;
2bc?1?a时,?3a2?2a?a(1?a)?0,不妨设a最大,令2a?t?[1,1),322
?3t3?t2?2t?1?0(**)本来是求导数证明的,后来发现:32t3?1?1?2t,我们
27224932275t?t?t2?()2?(2?)2?3. 274927由此启发,继续研究,发现上述的题目形式:
代数18（大连市第二十四中学李响）
只要证明
定义有序正数组 的特征值为 ，设有序
正数组 的特征值为k，
(1).求证：可以将 划分为m 个有序数组，并设每组的特征值为 ，使得 ；
(2).将2017改为2018，结论是否成立，并证明.
解：(1)我们证明可以将 划分为m-1个二元数组和一个非二元数组满足题中条件，下面用数学归纳法证明：
m=1时，显然成立；
假设m=p时结论成立，即可划分为p-1个二元数组和一个非二元数组， 使得 成立；则m=p+1时，保持m=p时划分出去的p-1个二元数组不变，下面对非二元数组进行划分，设非二元数组为 ，其特征值为 ，取其中一个二元数组 ，其特征值为 ，其中 ，设除去 的有序q-2元数组的特征值为 ，则对于m=p+1，只要证明存在 使得 成立， 即 即
成立， 成立，
成立，即
即 成立，设 ，
由于( ，q为奇数，
所以至少存在一个i使得 ，对于m=p+1原结论成立，所以原题结论成立.
(2)成立，同(1)只要证存在i使得 成立，设 ，若存在 ，则显然成立，若 均不为零，用反证法，假设 均小于零，则 为同号，由于q为偶数，有 为同号，
23
由于 ， 与同号产生矛盾，所以存在i使得 成立， 所以对于2018依然成立.
代数19（学而思培优·苏州分校李家夫）
已知：f(x)?x4?ax3?bx2?cx?d有四个复数根?1,?2,?3,?4，
g(x)?x3?bx2?(ac?4d)x?4bd?a2d?c2有三个复数根?,?,?.
123求证：
1?i?j?4?(???)ij2?1?i?j?3?(???)ij2
解析为记号简单起见，不妨设{?1,?2,?3,?4}?{e,f,g,h} 由韦达定理有
?a??(e?f?g?h)?b?ef?eg?eh?fg+fh+gh? ??c??(efg?efh?fgh?egh)??d?efgh我们来证明：
（1）
?1??2??3??(?b)?ef?eg?eh?fg+fh+gh?(?1?2??3?4)?(?1?3??2?4)?(?1?4??2?3)（2）. . 直接展开验证即可. 于是证毕！
代数20（华东师大张丽玉）
设x、y、z为正实数，求证：
yzy2?z2?yz?zxz2?x2?zx?xyx2?y2?xy?(x2?y2?xy)(y2?z2?yz)(x2?y2?xy).
一、命题背景:原题：P为三角形ABC内一点，求证：
BPCPBC?APCPAC?APBPAB?ABBCAC.
特别地，当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时，这个几何不等式仍然成立，设PA=x，PB=y，PC=z，则得到题2.
二、解答过程
当然我们可以先解答原几何题，再等价转化为我们所需要的代数不等式. 下面我们给出一个纯代数的解法，解答过程如下：
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?yz(x2?y2?xy)(x2?z2?xz)?zx(y2?z2?yz)(y2?x2?yx)?xy(z2?x2?zx)(z2?y2?zy)?1
首先证明
y2?z2(x?y?xy)(x?z?xz)?x?yz?xy?z.
22222y?zy2?z2y?z2?(x?y?xy)(x?z?xz)?(x?yz?x)?(x?yz?x)?(x2?yz?x)2y?z2
22222y?z2)y2?z2y?z2??x(?)
y?zy?z222222(x?y?xy)(x?z?xz)?(x?yz?x)2(x2?y2?xy)(x2?z2?xz)?(x2?yz?xx(y?z)2?? y?z2(y?z)22222(x?y?xy)(x?z?xz)?(x?yz?x)2?(x2?y2?xy)(x2?z2?xz)?(x2?yz?xy?z3)?x(y?z) 2232x(y?z)24而
(x2?y2?xy)(x2?z2?xz)?(x2?yz?x?xz?xy?x22y?zy?z)?(x2?y2)(z2?x2)?x22
y?z3?x(y?z)22222y2?z2所以(x?y?xy)(x?z?xz)?x?yz?xy?z成立.
于是yz(x2?y2?xy)(x2?z2?xz)?yzy2?z2x?yz?xy?z2?yz(y?z).
?yz(y?z)同理zx(y2?z2?yz)(y2?x2?yx)xy??zx(z?x)，
yz(y?z)?(z2?x2?zx)(z2?y2?zy)xy(x?y)，
?yz(y?z)上面三个式子相加，即是我们需要证明的不等式.
代数21（杭州二中赵斌）
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