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几何
几何1（复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利）
已知锐角?ABC，AC?BC，点K,N在边AC上，点M,L在边BC上，且
11BC?AN?CK?CL?BM?AC. KL与MN交于点P. 点R为边BC的中点，22点Q为?ABC外接圆上弧ACB的中点. 求证：?RPN??QPK.
证明：延长MN、KL分别交BC于点X、Y. 由梅涅劳斯定理，直线MN、KL截?ABC得：
BXANCMAYBLCK（1） ???1???XANCMBYBLCKA由条件：AN?CK，NC?KA，CM?BL，MB?LC.
BXBY代入（1）得：， ?XAYA进而：AX?BY（2）
因为R为边BC的中点，Q为?ABC外接圆上弧ACB的中点，所以QR为线段AB的中垂线，结合（2）可知QR为线段XY的中垂线.
因为QA?QB，AN?BM，?QAN??QBM，所以?QAN??QBM， 所以QM?QN，?MQA??BQA??ACB，进而M,C,Q,N四点共圆. 所以?QCM??QNX. 又?QCM??QAX， 可得?QAX??QNX，可得Q,N,A,X四点共圆，
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?ABC??CAB.
22???ACB?ABC??CAB又?KYX??CBA??BLY??CBA? ?22所以?QXN??QAC??QAB??CAB????ACB??CAB?所以?QXN??KYX，由QX?QY，所以：?PXY??PYQ
所以QX,QY为?PXY的外接圆的切线，所以QP为?PXY的陪位中线， 所以：?QPK??XPR??RPN.
几何2（湖南师大附中苏林）
已知I是?ABC内心，过I作BC的垂线，交?ABC的外接圆于D、E(D、A在BC同侧)，延长DA交直线BC于F，过I作AE的垂线交直线BC于G.
求证：?DFI??EGI.
证明：引理：F是⊙O的弦BC延长线上一点，D是弧BC中点，弦交弦BC于
G，DF交圆于D、H，则DC2?DH?DF?DG?DE.
引理的证明：连结CE、CH.
因为D是弧BC中点，所以?E??BCD，因此，所以DC?DGC∽?DCE2?DG?DE.
因为弧DH?弧DC?弧HC=弧BD－弧HC，
所以?DCH??BCD??CDH??F， 因此?DHC∽?DCF， 所以DC?DH?DF?DG?DE.
回到原题：
延长AI交⊙O于P，设BC于DE的交点为M，连结DF交BC于L，延长DO交⊙O于K.下证P、E、G三点共线：
延长PE交BC延长线于G?，连结IG?交AE于N.
由鸡爪定理及引理知PI?PC?PE?PG?，
故?PEI∽?PIG?，
故?PIE??PG?I，于是?IAE??IEA??BG?E??IG?B， 而?IAE??PCE??BG?E， 所以?MEN??MG?N，
因此M、E、G?、N四点共圆.
而?EMG?= 90?，所以IG??AE， 因此G?即G，
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222所以P、E、G三点共线.
再证LI?DF：由鸡爪定理及引理知：
PI2?PC2?PL?PD，
所以?PLI∽?PID，从而?LIP??IDP， 因此?DLI??DPA??LIP??DPA??EDP. 所以?DLI??LDF??DPA??ADE?2?EDP. 在?DBC中熟知DO、DE是等角线，
从而?DLI??LDF??DFA??ADE??EDK= 90?. 所以LI?DF.
最后证明?DFI??EGI：
由LI?DF、DI?LF知I是?DLF垂心， 所以?DLI??DFI?90???LDF. 因为?IGL??DEA??DPA， 所以L、P、G、I四点共圆. 从而?DLI??EGI. 所以?DFI??EGI.
几何3（湖南师大附中苏林）
⊙O2相切，如图，⊙O1、且均与⊙O切，⊙O的弦径AB⊙O2的外公切线，⊙O1、⊙O2的两条外公切线是⊙O1、且D、F、CD、EF分别交AB于C、E，D、F在⊙O上，
O1、O2均不在直线AB同侧，EF交AD于P，CD交BF于Q.
求证：PQ∥AB.
证明：分别延长FE、DC交⊙O于T、S，连结SA、SB、TA、TB.
⊙O2分别切AB于K、L，切SD于U、V，切FT于Y、X. 设⊙O1、对⊙O1及点圆⊙A、⊙S、⊙B用开世定理有：
SA?BK?SB?AK?AB?SU.
对⊙O2及点圆⊙A、⊙S、⊙B用开世定理有：
SA?BL?SB?AL?AB?SV.
两式相减得：SA?KL?SB?KL??AB?UV， AB?UV从而SB?SA?.
KLAB?XY同理：TB?TA??.
KL30
而UV?XY，故SB?SA??(TB?TA).
易知：当点G沿弧BSA从B到A时，GB?GA的值单调递增， 当且仅当GG?∥AB时，GB?GA??(G?B?G?A).
故ST∥AB.从而?ADS??BFT.所以F、P、Q、D四点共圆. 因此?FQP??FDP??FBA.所以PQ∥AB.
几何4（郑州一中张甲）
已知圆O1与圆O2外切，P为圆O1上一点，PA,PB分别且圆O2于A,B两点，
M为AB中点，OC垂直PA交圆O1于点C，PB交圆O1于点D. 1求证：C,D,M三点共线.
AAO2O1MO1SMO2DPCBDTB PC
证明：设圆O1，圆O2切于点S，则O1,S,O2三点共线，P,M,O2三点共线. 由OC?AP,O2A?AP可得A,S,C三点共线. 111要证C,D,M三点共线，即证：?SDM??CO1S??AO2S??ABS??SBM，
22即证：S,D,B,M四点共圆.
设过S的圆O1，圆O2的公切线交PB于T.
则?DSM??DBM??DST?90??MSO2?90??MBO2
?180???DST??MSO2??MBO2?，
于是S,D,B,M四点共圆等价于?DST??MSO2??MBO2， 而O2A2?O2S2?O2M?O2P，?MSO2??SPO2
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