三角恒等变换讲义
3.1 两角差的余弦公式
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________. C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________. S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.
3. 两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.
4．两角和与差的正切公式的变形： tan α＋tan β＝__________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________.
考点一 给角求值
例1 求下列各式的值． (1)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)． (2)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
例2 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.
1
变式训练1 求下列各式的值．
(1)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
变式训练2 求下列各式的值．
3＋tan 15°(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 1－3tan 15°
考点二 给值求值
π3π123
例3 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
24135
回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
11
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
22
821
变式训练1 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin(α－β)＝，求cos β的值．
1729
2
考点三 给值求角型
π111
0，?，求β的值． 例4 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈??2?714
例5 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． (2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．
510
变式训练1 已知α、β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
510
ππππ
变式训练2 已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，2222
求角α＋β.
考点四 证明三角恒等式
例6 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
3
回顾归纳 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
sin?2α＋β?sin β
变式训练1 证明：－2cos(α＋β)＝.
sin αsin α
加强练习： sin 68°－cos 60°sin 8°1．＝________. cos 68°＋sin 60°sin 8°
31
2. 若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
22
133 A. B．－ C. D．1 224
3. A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
π1＋α?＝2，则4. 已知tan?的值为________． ?4?2sin αcos α＋cos2α
3.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式 (1)S2α：sin 2α (2)C2α：cos 2α (3)T2α：tan 2α
2．倍角公式常用变形 sin 2αsin 2α(1)＝________，＝________； 2sin α2cos α(2)(sin α±cos α)2＝____________；
(3)sin2α＝____________，cos2α＝____________.
(4)1－cos α＝____________，1＋cos α＝____________.
考点一 化简求值
4
例1 求下列各式的值．
π512
(1)coscosπ；(2)－cos215°.
121233
回顾归纳 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．
变式训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；
cos 10°
(2)(tan 10°－3)·. sin 50°
cos 2α2
变式训练2：若＝－，则cos α＋sin α的值为( )
π2α－?sin??4?
7117
A．－ B．－ C. D.
2222
考点二 化简或证明
3－4cos 2A＋cos 4A
例2 求证：＝tan4 A.
3＋4cos 2A＋cos 4A
回顾归纳 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．
1＋sin 2θ－cos 2θ
变式训练1 化简：.
1＋sin 2θ＋cos 2θ
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