[例15]已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
AB?BC?CA?2，求球的表面积。
解析：设截面圆心为O?，连结O?A，设球半径为R，
则O?A?2323， ??2?323222在Rt?O?OA中，OA?O?A?O?O， ∴R?(∴R?223212)?R， 344， 32∴S?4?R?64?。 9点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。
[例16]如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。
解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。
在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。
由正弦定理，得
2a6=2r,∴r=a。
sin60?3又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共线，球的半径R=r2?d2。又PO′=PA2?r2=a?2322a， a=
33∴OO′=R －
33a=d=R2?r2,(R－
33a)2=R2 – (
362
a)，解得R=a,
23∴S球=4πR2=3πa2。
点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=
3a,下略。 2
[例17]（2006四川文，10）如图，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP?ABCD?16，则球O的表面积是（ ） 3A．4? B．8? C．12? D．16?
（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积。
解析：（1）如图，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点
A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面
ABCD，PO=R，SABCD?2R2，VP?ABCD?16，所以3116?2R2?R?，R=2，球O的表面积是16?，选D。 33（2）作轴截面如图所示，
CC??6，AC?2?6?23，
设球半径为R， 则R?OC?CC? ?(6)2?(3)2?9
∴R?3，
2∴S球?4?R?36?，V球?2224?R3?36?。 3点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。
[例18]（1）表面积为324?的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。 （2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。
解析：（1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，
则作轴截面如图，AA??14，AC?2又∵4?R?324?，∴R?9，
2a，
∴AC?AC?2?CC?2?82，∴a?8，
∴S表?64?2?32?14?576 （2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H
由题设
AG?AE2?GE2?6a 3∵ △AOF∽△AEG ∴
6a?RR63?，得R?a 1233aa626a?2R?rr6?，得r?∵ △AO1H∽△AOF ∴ 3a R246a?R3∴ V球O144?6?63????r3???aa ??33?24?17283
点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。 [例19]（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）
（2）在半径为13cm的球面上有A,B,C三点，AB?BC?AC?12cm，求球心到经过这三点的截面的距离。
解析：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半∴OK?AK，
设C是北纬40的纬线长， ∵?AOB??OAK?40，
∴C?2??AK?2??OA?cos?OAK?2??OA?cos40
??????径，
?2?3.14?6370?0.7660?3.066?104(km)
答：北纬40纬线长约等于3.066?10km． （2）解：设经过A,B,C三点的截面为⊙O?， 设球心为O，连结OO?，则OO??平面ABC， ∵AO???432?12??43， 23∴OO??OA2?OA?2?11， 所以，球心到截面距离为11cm．
[例20]在北纬45圈上有A,B两点，设该纬度圈上A,B两
?点的劣弧长为球面距离。
2?R（R为地球半径），求A,B两点间的4
解析：设北纬45圈的半径为r，则r??2R，设O?为北纬45?圈的圆心，4?AO'B??，
∴?r?∴??222?R，∴R???R， 424，∴AB??22r?R，
∴?ABC中，?AOB??3，
所以，A,B两点的球面距离等于
?3R．
点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进
而求出这两点的球面距离。
第一章 检测题
1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（ ）
A．13+1 B．26 C．18 D．14 2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）
222 2
A．8R B． 9R C．10R D．12R 3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A． 10cm B． 52cm C． 5?2?1cm D．52??4cm
24．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A．2倍 B． 4倍 C． 8倍 D．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A．1倍 B．2倍 C．1
2
43倍 D．1倍 546．正方体的全面积是a,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A．
?a23 B．
?a22 C． D．
7．两个球的表面积之差为48?,它们的大圆周长之和为12?,这两个球的半径之差为
（ ）
A．4 B． 3 C． 2 D． 1
8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A．
1323 53113a B．a C．a D．a 23612