你知道吗？ 第9课：函数概念与一次函数
1 函数概念
（1）了解常量，变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。 （2）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定简单的整式分式和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围，并会求出函数值。
（3）能用适当的函数表示方法刻画一些实际问题中变量之间的关系。 （4）结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。 2 一次函数
（1）结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式。 （2）会画一次函数的图像，根据一次函数的图象和表达式探索并理解性质。 （3）理解正比例函数
（4）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。 （5）能用一次函数解决实际问题。 你会填写吗？
1、理解函数的概念时，应注意：（1）在某个变化过程中，有两个______x和y； （2）y的值随x的值_________;
(3)对于x的每一个值，y都_______。
2、函数的表示方法有三种：解析法、_______和_________。 3、画函数图象的一般步骤：列表、________、_________。
4、一次函数的定义：一般地，如果__________，那么y叫做x的一次函数。当_________时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。 其性质是： ①当k＞0时，y随x的增大而__________。 ②当k________0时，y随x的增大而减小。 5、正比例函数图像是经过（______）点的直线 6、一次函数与二元一次方程组的联系：两个一次函数图像的_______是这两个一次函数所组成的二元一次方程组的解，故可以根据图像求二元一次方程组的近似解。
7、直线平移 一般地，一次函数y=kx+b(b?0)的图像可由正比例函数y=kx的图像平移得到.当b>0时，向________平移b个单位；当b<0时，向_________平移|b|个单位. 8、直线平行
如果k1______k2 , b1______b2时，那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行. 如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么_________________。.
一次函数 y=kx+b的图像与x轴交点的____坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b的图像与x轴交点的____坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想. 9、 由一次函数 y=kx+b的函数值y大于（0或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数 y=kx+b的图像上且位于___轴上方(或下方)的所有点,它们的 横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.
教你一小手
例1、 已知直线y=kx+b经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求： (1)k、b的值；
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
分析 ： 用待定系数法求一次函数解析式，直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k、b的方程组,解方程组,就可求得k、b的值. 解 (1)因为直线y=kx+b经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以 5= –20x+b 解得 k= 20=10x+b
(2)这条直线的表达式为 y=
1, b=15. 21x+15. 2 由y=
11x+15,令y=0，得x+15=0，解得x=-30；令x=0，得y=15. 22所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).
例2、已知直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,点O为坐标原点，如果OA=求直线的表达式.
解: 由y=mx+2,令y=0，得mx+2=0，解得x=-得点B坐标为(0,2)
所以OA=│-
1OB,222,得点A坐标(-,0)；令x=0，得y=2.mm2│, OB=2 m由OA=
12OB, 得│-│=1, 所以m=±2 2m所以直线的表达式为y=2x+2 或 y=-2x+2
说明 本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度.本题谨防漏解. ．．．．．．
例3、 已知一次函数的图像经过点A(2,-1),且与直线y=
1x+1平行，求这个函数的解析式. 2分析 ： 设一次函数解析式为 y=kx+b(k≠0)，由平行条件可得k=
1，再根据点A坐标求2出b，就可求出函数解析式.
解 设一次函数解析式为 y=kx+b(k≠0).
因为直线y=kx+b与直线y=
11x+1平行，所以k=. 22因为直线y=kx+b经过点A(2,-1),又k=
11，所以32+b=-1. 22解得 b=-2 所以这个函数的解析式为 y=
1x-2. 2例4、据报道，某地区从1995年底开始，每年增加的沙漠面积几乎相同，1998年底该地区的沙漠面积约为100.6万公顷，2001年底扩展到101.2万公顷，如果不进行有效治理，试估计到2020年该地区的沙漠面积.
解法一:(算术解法)(101.2-100.6)÷3=0.2(万公顷/年) 0.23(2020-1998)+100.6=105(公顷)
答:估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.
解法二:分析数量关系,合理确定变量和常量.其中1998年沙漠面积100.6万公顷,2001年101.2万公顷,每年增加的沙漠面积是常量.沙漠面积随着年数的增加而增加,所以,年数是自变量,沙漠面积是年数的函数.以1999年为第一年,第x年的沙漠面积=1998的沙漠面积+x年内增加的沙漠面积.
解:设该地区每年增长的沙漠面积为a万公顷,以1999年为第一年,第x年的沙漠面积为y公顷,那么y与x之间的函数关系为y?ax?100.6
2001年是第三年,当x=3时, y=101.2,即101.2=3a+100.6,解得a=0.2.所以
y?0.2x?10.06.2020年是第22年,当x=22时,y=0.2322+100.6=105
答: 估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.
解法三: 分析数量关系,建立函数模型,用待定系数法确定函数解析式后求解.
解:以1999年为第一年,设第x年的沙漠面积为y公顷,则y?kx?b.再由
x?0时,y?100.6;x?3时,y?101.2x?22时,求出y?105.
,确定
y?0.2x?10.60.
当
答:估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.
说明 在教学过程中可能大部分学生乐意采用解法一，算术解法好理解，书写简单，答案易求.但教师要善于引导学生应用函数的数学思想来解决问题,让学生体会根据函数解析式可以预测未来任何一年的沙漠面积,知道函数是描述客观世界的变化规律的重要数学模型.逐步培养学生应用函数模型解决实际问题的意识和能力.解法三对学生函数的建模能力要求比较高,教师可根据学生的实际情况进行教学.
例5、一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底薪为1500元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750元,再加每月销售额的20% ,如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案? 剖析：1、审题
首先确定实际问题转化为怎样的数学问题?“怎样选择”关键是看哪一种方案薪金高.而每月薪金又依赖每月的销售额.在明确常量和变量的基础上,用字母合理表示变量,寻找数量之间的等量关系. 2、分析
变量:月薪 y(元),月销售额为x(元)
等量关系:每月薪金=每月底薪+销售额3百分率 “选择哪种方案”,实质是比较两个函数值y的大小.显然,两个函数值的大小,随着x的变化而变化,要比较它们的大小,可以先探索x 取何值时，y1=y2, 进而根据函数的图像性质探索函数值的变化趋势,判断它们的大小.也可以先假设任意一种情形,例如y1 在同一坐标系中画出两种方案中y关于x的函数图像. y3750y=750+15x13000y=1500+10x22501500750o250050007500100001500020000x由图像可知:当0?x?7500时, y甲> y乙. x?7500时, y甲< y乙. 解法二:若y甲=y乙,则1500?11x?750?x,解得x=7500. 105 若y甲> y乙.则1500?11x?750?x,解得x<7500. 10511x?750?x,解得x>7500. 105甲 若y甲< y乙,则1500?答: 即销售额为7500元时,这两种方案所定的月薪相同.当0?x?7500时, y > y 乙 , x?7500时, y甲< y乙. 解法三:求出两函数值的差, y甲 - y乙=?当?1x?750 101x?750?0,即0?x?7500时, y甲> y乙. 101x?750?0,即x?7500时, y甲< y乙. 当?10 说明 本例题是一道利用一次函数知识进行分析、决策的题,让学生充分体会了数学知识的广泛应用性.本题的关键是在将实际问题转化为数学问题,明确“怎样选择”,就是要建立薪金与销售额的函数关系式,比较两个函数值的大小.方法一,利用函数图像上所获取的信息，作出结论,有利于学生数形结合思想的培养,直观形象.方法二、三，书写简洁方便，教学中可作介绍. 试试看吧 一、选择题 1. （2011江西南昌）已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2 [答案】D 2．（2008贵州贵阳）对任意实数x，点P(x，x2?2x)一定不在（ ） ．．A．第一象限 【答案】B B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 y 3、（2009贵州贵阳）如图3，平面直角坐标系内两点M（3，3）、N（－2，2）， 4 在x轴上求一点P，使得点P到M、N的距离之和（即PM＋PN） 3 2M 2 N2 最短，则点P的坐标是……………………………（ ） 1 A、（－2 ，0） B、（0 ，0） -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 C、（1 ，0） D、（3 ，0） -1 -2 【答案】C -3 x 4、如果点M在直线y＝x －1的图象上，则M点的坐标可以是??????（ 图 3 ） A、（－1 ，0） B、（0 ，1） C、（1 ，0） D、（1 ，－1） 【答案】C