提能专训(二十) 坐标系与参数方程(选修4－4)
1. (2013·福建省毕业班质检)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标π?x＝－1＋tcos ?6，系．已知直线l的参数方程为?π
??y＝tsin 6断直线l与圆C的位置关系．
(t为参数)，试判
命题立意：本题主要考查参数方程、极坐标方程等知识，考查考生的运算求解能力，考查数形结合思想．
解析：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接OM，BM，
在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|cos ∠BOM，
所以ρ＝2cos θ.
π??
可以验证点O?0，2?，B(2,0)也满足ρ＝2cos θ，
??故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程． π?x＝－1＋tcos ?6，(2)由?π
??y＝tsin 63
＝3(x＋1)，
即直线l的普通方程为x－3y＋1＝0.
由ρ＝2cos θ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. |1×1－3×0＋1|
因为圆心C到直线l的距离d＝＝1， 2所以直线l与圆C相切．
??x＝1＋tcos α，2．(2013·郑州第二次质检)已知直线C1：?(t为参
?y＝tsin α???x＝cos θ，
数)，曲线C2：?(θ为参数)．
?y＝sin θ?
(t为参数)，得直线l的普通方程为y
π
(1)当α＝3时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？
π
解析：(1)当α＝3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，
??y＝3?x－1?，
联立方程组?22
?x＋y＝1，?
?13?
解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，?，－?.
2??2
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0， A点坐标为(sin2α，－sin αcos α)，
12?x＝?2sinα，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为?1
?y＝－?2sin αcos α参数)，
1?221?
?P点轨迹的普通方程为x－4?＋y＝16， ??
?1?1??故P点轨迹是圆心为4，0，半径为4的圆． ??
(α为
3．(2013·太原市高三模拟二)平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)
??x＝acos φ，
在曲线C1：?(a＞0，φ为参数)上．以原点O为极点，x
??y＝sin φ
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝acos θ.
(1)求曲线C2的普通方程；
π??
?(2)已知点M，N的极坐标分别为(ρ1，θ)，ρ2，θ＋2?，若点M，??11
N都在曲线C1上，求ρ2＋ρ2的值．
1
2
??2＝acos φ，
解析：(1)∵ 点A(2,0)在曲线C1上，∴ ?
??0＝sin φ，
∵ a＞0，∴ a＝2，∴ ρ＝2cos θ.
??x＝ρcos θ，
由?得(x－1)2＋y2＝1， ?y＝ρsin θ，?
∴ 曲线C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
??x＝2cos φ，
(2)由(1)得曲线C1：?
?y＝sin φ，?
x22
消去参数φ得4＋y＝1.
由题意得点M，N的直角坐标分别为 π?π???
(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，ρ2cos?θ＋2?，ρ2sin?θ＋2?.
????∵ 点M，N在曲线C1上，
22
ρ1cos2θ22ρ22sinθ2∴ 4＋ρ1sinθ＝1，4＋ρ2cos2θ＝1， 2
sinθ??11?cos2θ522?
∴ ρ2＋ρ2＝?4＋sinθ?＋?4＋cosθ?＝4. ????12
4．(2013·乌鲁木齐地区第三次诊测)在平面直角坐标系xOy中，
???x＝cos φ，?x′＝ax，
曲线?(φ为参数)，经坐标变换?(a＞0，b＞0)
??y＝sin φy′＝by??
后所得曲线记为C.A，B是曲线C上两点，且OA⊥OB.
(1)求曲线C的普通方程；
(2)求证：点O到直线AB的距离为定值．
??x＝cos φ，解析：(1)由?
??y＝sin φ
??x′＝ax，
(φ为参数)及?
??y′＝by，
得
??x′＝acos φ，x′2y′2x2
?消去φ，得a2＋b2＝1，即曲线C的普通方程为a2??y′＝bsin φ，
y2
＋b2＝1.
(2)证明：以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极?ρcos θ?2?ρsin θ?2
轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为a2＋b2＝1，即a2b2
ρ＝22.
bcosθ＋a2sin2θ
2
π??2
?不妨设A(ρ1，θ1)，Bρ2，θ1＋2?，代入C的极坐标方程，有ρ1＝??a2b2a2b22
，ρ＝.
b2cos2θ1＋a2sin2θ12b2sin2θ1＋a2cos2θ1
设点O到直线AB的距离为h，则 |OA||OB|ρ1ρ2h＝|AB|＝22＝ρ1＋ρ2＝1
11＋ρ2ρ212
1
22222222 bcosθ1＋asinθ1bsinθ1＋acosθ1
＋a2b2a2b2ab
22(定值)． a＋b
＝
5．(2013·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
??ρ＝2，π?解得ρ＝2，θ＝±， 3?ρ＝4cos θ?
π??π??
故圆C1与圆C2交点的坐标为?2，3?，?2，－3?.
?
?
?
?
注：极坐标系下点的表示不唯一．
??x＝ρcos θ，
(2)解法一：由?得圆C1与C2交点的直角坐标分别为
??y＝ρsin θ，
(1，3)，(1，－3)．