exeyez???（2） ??R??0 ?x?y?zxyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则A?R?Axx?Ayy?Azz，故
??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果??F?0，那么函数f(r)会有什么特点呢？
1d解 在圆柱坐标系中，由 ??F?[rf(r)]?0 rdr?(A?R)?ex可得到
f(r)?Cr
C为任意常数。
在球坐标系中，由 ??F?1d2[rf(r)]?0 2rdrC
可得到 f(r)?2r1.19 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P到点P的线积分?1)1(2,1,?1)2(8,2,（1）沿抛物线x?y2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？ ?E?dl：
dl??Edx?Edy??ydx?xdy? 解 （1）?E?
xyCCC22?yd(2y)?2y122dy??6y2dy?14
1（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为
x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222故
C?E?dl??ECxdx?Eydy??yd(6y?4)?(6y?4)dy??(12y?4)dy?14
11由此可见积分与路径无关，故是保守场。
1.20 求标量函数??x2yz的梯度及?在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量
ex345定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 ?ey?ez505050?2??解 ???ex(xyz)?ey(x2yz)?ez(x2yz)?
?x?y?zex2xyz?eyx2z?ezx2y
- 6 -
z r?? ?r ?z r o ? x z y
345的方向导数为 ?ey?ez50505022??6xyz4xz5xy ????el????l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为
??361660112 ?????l50505050故沿方向el?ex1.21
试采用与推导直角坐标中
的通量为
?Ax?Ay?Az相似的方法推导圆柱坐标下的公式 ??题1.21图 ?x?y?z?A?A1???A?(rAr)???z。
r?rr???z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面
??A?????z??z????z??z?? ?r????zArr??r(r??r)drd?????zArrrdrd??
?(rAr)1?(rAr)?r???z??? ?rr?r[(r??r)Ar(r??r,?,z)?rAr(r,?,z)]???z?同理
r??rz??zr??rz??z?????rzr??r????A?????drdz???rzA??drdz?
[A?(r,????,z)?A?(r,?,z)]?r?z?r??r?????A????r???z??A?r????
?z????rAzz??zrdrd?????rAzzrdrd??
?Az?Ar?r???z?z?? ?z?z[Az(r,?,z??z)?Az(r,?,z)]r?r???z?因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为
1?(rAr)?A??Az??]??
r?rr???z?1?(rAr)?A??Az ???故得到圆柱坐标下的散度表达式??A?lim???0??r?rr???zΨ?Ψr?Ψ??Ψz?[2221.22 方程u?x?y?z给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。
222abc解 由于 ?u?ex2x2y2z
?e?eyza2b2c2- 7 -
?u?2(x)2?(y)2?(z)2
222故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 abcn??uxyz?(ex2?ey2?ez2)abc?u(x2y2z2 )?()?()a2b2c21.23 现有三个矢量A、B、C为
A?ersin?cos??e?cos?cos??e?sin?
B?erz2sin??e?z2cos??ez2rzsin?
C?ex(3y2?2x)?eyx2?ez2z
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？
（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中
??A?1?21?1?A?(rA)?(sin?A)??r?r2?rrsin???rsin???1?21?1?(rsin?cos?)?(sin?cos?cos?)?(?sin?)? 2r?rrsin???rsin???2cos?2sin?cos?cos?sin?cos?????0 rrsin?rrsin?re????rA?rsin?e??? ??rsin?A?
er1???A?2rsin??rArer1?r2sin??rsin?cos?re????rcos?cos?rsin?e???0
???rsin?sin?故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；
在圆柱坐标系中
1?1?B??Bz
(rBr)???r?rr???z1?1?2? (rz2sin?)?(zcos?)?(2rzsin?)?
r?rr???zz2sin?z2sin???2rsin??2rsin? rr??B= - 8 -
er??B?1?r?rBrre????rB?ezerre????rz2cos?ez??0 ?z2rzsin??1???zr?rBzz2sin?故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
?Cx?Cy?Cz
??C=????x?y?z???(3y2?2x)?(x2)?(2z)?0?x?y?zex???C??x3y2?2xey??yx2ez??ez(2x?6y) ?z2z
故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为
??A?0，??A?0；
??B=2rsin?，??B?0；
1.24 利用直角坐标，证明 解 在直角坐标中
??C?0，??C?ez(2x?6y)
??(fA)?f??A?A??f
f??A?A??f?f(?Ax?Ay?Az?f?f?f??)?(Ax?Ay?Az)? ?x?y?z?x?y?z?A?A?A?f?f?f(fx?Ax)?(fy?Ay)?(fz?Az)?
?x?x?y?y?z?z???(fAx)?(fAy)?(fAz)???(fA) ?x?y?z??(A?H)?H???A?A???H
1.25 证明
解 根据?算子的微分运算性质，有
??(A?H)??A?(A?H)??H?(A?H)
式中?A表示只对矢量A作微分运算，?H表示只对矢量H作微分运算。
由a?(b?c)?c?(a?b)，可得
?A?(A?H)?H?(?A?A)?H?(??A)
同理 ?H?(A?H)??A?(?H?H)??A?(??H) 故有 ??(A?H)?H???A?A???H
1.26 利用直角坐标，证明
- 9 -
??(fG)?f??G??f?G
解 在直角坐标中
?G?G?G?G?Gz?Gy?)?ey(x?z)?ez(y?x)] ?y?z?z?x?x?y?f?f?f?f?f?f?Gy)?ey(Gx?Gz)?ez(Gy?Gx)] ?f?G?[ex(Gz?y?z?z?x?x?yf??G?f[ex(所以
f??G??f?G?ex[(Gz?Gy?Gz?f?f?f)?(Gy?f)]? ?y?y?z?z?Gx?Gz?f?fey[(Gx?f)?(Gz?f)]?
?z?z?x?x?Gy?Gx?f?fez[(Gy?f)?(Gx?f)]?
?x?x?y?y?(fGx)?(fGz) ?(fGz)?(fGy)?]?ex[?]?ey[?z?x?y?z?(fGy)?(fGx)ez[?]???(fG)
?x?y1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及
??(??A)?0，试证明之。
解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有
?(???u)?dS????u?dl???SCC?udl??du?0 ??lC由于曲面S是任意的，故有
??(?u)?0
（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积?，由散度定理有
???(??A)d????(??A)?dS??(??A)?dS??(??A)?dS
?SS1S2其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有
S1?(??A)?dS???A?dl， ?(??A)?dS???A?dl
C1S2C2由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有 所以得到
??A?dl????A?dl
C1C2??(??A)d??A?dl???????C1C2A?dl????dl???dl ?0?A?AC2C2由于体积?是任意的，故有 ??(??A)?0
- 10 -
C2 C1S1 n1
n2 S2 题1.27图