二章习题解答
2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为???4?Ud?43x?23，式中阴极板位于
009x?0，阳极板位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。
d 解 （1） Q?（2） Q????43?23?d??(??Udx)Sdx??00??0494?0U0S??4.72?10?11C 3d414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92??d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的
d??d?? 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由
12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms 故 J??v?0.318 Am2
I?J?(d2)2?10?6 A
2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??rsin?
球内的电荷体密度为
??故 J??v?e?Q 34?a3Q3Q??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表
面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??asin?
球面的上电荷面密度为
??故 JS??v?e?
Q 4?a2QQ??asin??esin? ?24?a4?a- 11 -
2.5 两点电荷q?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处
1 的电场强度。
解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为
E1?电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为
r?r1?2ex4?ez4? 334??0r?r1???0(42)q1q2E2?故(4,0,0)处的电场为
r?r2?1ex4?ey4 ??334??0r?r2???0(42)E?E1?E2?ex?ey?ez2322??0
2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度
E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。
解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为
?lar?r?d???
4??0(2a)3?lez?(excos???eysin??)d??
a82??0在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度为
dE?E(0,0,a)??dE?
?2?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? y?zx82??0a82??0a??2dE z P a r ?? x r? ?l dl? y
2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场强度。
解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为
题 2.6图
d?则
L3 tan30??L26y 故等边三角形中心处的电场强度为
?l13?l1 (cos30??cos150?)?eyE1 4??0d2??0L?l3 ?l2 3?l23?l1?? E2??(excos30?eysin30)??(ex3?ey)2??0L8??0LE2 E3 3?3?o ?l1 E3?(excos30??eysin30?)l3?(ex3?ey)l1 2??0L8??0LE1?ey题2.7图
- 12 -
x
E?E1?E2?E3?
3?l13?l13?l13?l1 ey?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E?0的点？
解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为
qex(x?a)?eyy?ezz
E1?4??0[(x?a)2?y2?z2]32电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为
2qex(x?a)?eyy?ezz
E2??4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有
ex(x?a)?eyy?ezz2[ex(x?a)?eyy?ezz] ?2223222232[(x?a)?y?z][(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等，可得到
(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32 ① y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32 ② z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32 ③
当y?0或z?0时， 将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解； 当y?0且z?0时，由式①，有
(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3
解得
x?(?3?22)a
但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。
2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。
解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为
z r?z0dr232
2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为
dE?ezr?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)0003z0??? b dI? a o Q 题2.10图
?ez0? 2?03z0而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为
E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)- 13 -
?ez0?1?E 4?02
2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。 解 球面上的电荷面密度为
??Q 4?a2zr当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为
J??v??ω?r??e??ea?
S?Qsin? 4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环
?Q的电流为 dI?JSdl?sin?d? 4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁
e???asin??e?场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
233??Qasin?d???Qsin?d? 00 dB?e?e?ezzz8?(a2sin2??a2cos2?)322(b2?d2)328?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a?0b2dI2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。
电流I以相同的方向流过这两个线圈。
（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx； （2）证明：在中点处dBxdx等于零；
（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bdx2也等于零。
x解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex?0Ia22(a?z)
2232
?0NIb2(b?d4)2232（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为
??0NIb2? ?0NIb2B?ex?2?2322232?2(b?x)2[b?(d?x)]??22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有
22dB3?NIbd23?NIbd2x00 ??2??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]d b b I I 题2.11图
x
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2222dB15?NIbx3?NIbx00（3） ??? 222722252dx2(b?x)2(b?x)15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?227222522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx令 ，有 ??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24
故解得 d?b
2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为 Bx???Ir?0I，
?By?0ln24?ar14?a细条带的电流dI? 式中
?、r1和r2如题2.12图所示。
y dB ?2解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的细条带，每一
P(x,y)r2
? R r1 ?1 ?a I a x
Idx?。由安培环路定理，可得位于x?处2a的细条带的电流dI在点P(x,y)处的磁场为
?0Idx??dI?0Idx?dB?0??2212 ?4?a[(x?x)?y]2?R4?aR则 dBx??dBsin????0Iydx? 题 2.12图
4?a[(x?x?)2?y2]?0I(x?x?)dx?
dBy?dBcos??4?a[(x?x?)2?y2]
所以
??x?a??Ix0 Bx????arctan? ??22?4?a[(x?x?)?y]4?a?y??a?a?a?x???a?x???x?a??x?a?? ?0I??0I???arctan??arctan???arctan???????arctan????4?a?yy4?ayy????????????I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aaa?0I(x?x?)dx??0I?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2 22By????ln[(x?x?)?y]?ln?22224?ar1?4?a[(x?x)?y]8?a8?a(x?a)?y?a?a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为
a?0Iydx?Fr?3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)
4??0r4 - 15 -