19.解：(Ⅰ)∵f(x)? =sin(?x??632sin?x?12cos?x y1P)…………2分
∵x?R ∴?1?sin(?x??)?1，
-1MOAN1x6
∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，—1．
…………4分 (Ⅱ)解法1：令f(x)?sin(?x??6)?0得?x??6?k?,k?Z, ∵x?[?1,1] ∴x??1或x?5166 ∴M(?6,0),N(56,0), …………6分
由sin(?x??得x?116)?1，且x?[?1,1]3 ∴ P(3,1),…………8分
?????
∴PM?(?1????2,?1),PN?(12,?1), …………10分 ??????????????????∴cos?PM,PN??????PM??P???N??3|PM|?|PN|5．…………12分 解法2：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?1, 由三角函数的性质知|MN|?12T?1, …………6分
|PM|?|PN|?12?(12)2?52,…………8分
?????????由余弦定理得cos?PM,PN??|PM|2?|PN|2?|MN|22|PM|?|PN|…………10分
5?2?1=4312分
2?5?．…………54解法3：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?1, 由三角函数的性质知|MN|?1T?1,…………6分
2|PM|?|PN|?12?(1252)?2…………8分
在Rt?PAM中，cos?MPA?|PA||PM|?152?255…………10分
∵PA平分?MPN ∴cos?MPN?cos2?MPA?2cos?MPA?1
2 ?2?(255)?1?235．…………12分
20.解：（I）多面体A'B'BAC是一个以A'B'BA为底,C点为 顶点的四棱锥，由已知条件，知BC⊥平面A'B'BA， ∴VC?A?B?BA?13SA?B?BA?BC?13?a?a?2a33……3分
（II）设AC交BD于M，连结ME．
?ABCD为正方形，所以M为AC中点，
A' B' E ? D M 又?E为A'A的中点?ME为?A'AC的中位线
?ME//A'C……………………………………5分 又?ME?平面BDE, A'C?平面BDE
A B ?A'C//平面BDE． ………………7分
C
(Ⅲ)?ABCD为正方形?BD?AC ………………………… 9分
?A'A?平面ABCD,BD?平面ABCD?A'A?BD.又AC?A'A?A?BD?平面A'AC. ?BD?平面BDE?平面A'AC?平面BDE. ……………………11分
…………………………………………12分
??m?4?m?n?n21.解: (Ⅰ)依题意:?, ,????n?2?2n?22所求椭圆方程为(Ⅱ)设A(x,y).
x24?y22?1.………………………3分
?y?kx22k?,).………………………6分 由?x2y2得A(22??11?2k1?2k??42根据题设直线图象与椭圆的对称性,知…………8分
S?4?21?2k2?2k1?2k2?16k1?2k2(k?2).…………9分
∴S?161k?2k(k?2).
设M(k)?2k?1k,则M?(k)?2?1k2,当k?2时，M?(k)?2?921k2?0
∴M(k)在k??2,???时单调递增，∴?M(k)?min?M(2)?∴当k?2时，Smax?1692?329,………11分
.………………………12分
22.解：（I）f?(x)?3x2?3a?[?3a,??)， …………2分
∵对任意m?R，直线x?y?m?0都不与y?f(x)相切， ∴?1?[?3a,??)，?1??3a，实数a的取值范围是a?13； …………4分
14（II）存在，证明方法1：问题等价于当x?[?1,1]时，|f(x)|max?设g(x)?|f(x)|，则g(x)在x?[?1,1]上是偶函数， 故只要证明当x?[0,1]时，|f(x)|max?14，…………6分
，
①当a?0时,f?(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)?0，g(x)?f(x)
g(x)max?f(1)?1?3a?1?1314； …………8分
a)(x?a)，列表：
②当0?a?2时,f?(x)?3x?3a?3(x?x (??,?a) ?a (?a,a) a (a,??) f?(x) + 0 - 极0 小 + f(x) ? 极大2aa ? ?2aa? f(x)在(0,a)上递减，在(a,1)上递增， …………10分 注意到f(0)?f(3a)?0，且a?3a?1，
∴x?(0,3a)时，g(x)??f(x)，x?(3a,1)时，g(x)?f(x)， ∴g(x)max?max{f(1),?f(a)}，…………12分
由f(1)?1?3a?14及0?a?1413，解得0?a?14，此时?f(a)?f(1)成立．
∴g(x)max?f(1)?1?3a?由?f(a)?2aa?14．
131413及0?a?14，解得?a?，此时?f(a)?f(1)成立．
∴g(x)max??f(a)?2aa?．
14∴在x?[?1,1]上至少存在一个x0，使得|f(x0)|?（II）存在，证明方法2：反证法
假设在x?[?1,1]上不存在x0，使得|f(x0)|?14成立． …………14分
成立，即?x?[?1,1]，|f(x0)|?14，
设g(x)?|f(x)|，则g(x)在x?[?1,1]上是偶函数， ∴x?[0,1]时，|f(x)|max?14， …………6分
①当a?0时,f?(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)?0，g(x)?f(x)
g(x)max?f(1)?1?3a?1314，a?14与a?0矛盾； …………8分
a)(x?a)，列表：
②当0?a?2时,f?(x)?3x?3a?3(x?x (??,?a) ?a (?a,a) a (a,??) f?(x) + 0 极大- 极? 0 小 + f(x) ? 2aa ? ?2aaf(x)在(0,a)上递减，在(a,1)上递增， …………10分 注意到f(0)?f(3a)?0，且a?3a?1，
∴x?(0,3a)时，g(x)??f(x)，x?(3a,1)时，g(x)?f(x)， ∴g(x)max?max{f(1),?f(a)}，……………12分 注意到0?a?13，由：
11????f(a)?f(1)?1?3a??f(a)?f(1)?1?3a0?a?a???????44，矛盾；，矛盾； ????1111?f(1)?1?3a???f(a)?2aa??a??a?44????44??∴?x?[?1,1]，|f(x0)|?14与a?13矛盾，
∴假设不成立，原命题成立． …………14分