第十二章 无穷级数练习
1.判别下列级数的敛散性：
??n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1
2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
?
?(?1)n?1n?1n1；[n?]
3n2??n?1ncosn3n2?；
?n?1(?1)n?11n?lnn。
?3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。
?4.证明级数?n?1n!nnx当|x|?e时绝对收敛，当|x|?e时发散。 1n)单调增加，且limxn?e。
n??nn注：数列xn?(1?
?5.在区间(?1,1)内求幂级数
??n?1xn?1n 的和函数。
6.求级数?n?21(n?1)22n的和。
。
1
7.设a1?2,an?1?12(an?1an) （n?1,2,?）证明
?1）liman存在； 2）级数?(n??anan?1?1)收敛。
n?1
?8.设an??40?ntanxdx，
1） 求?n?11n(an?an?2)的值；
?2） 试证：对任意的常数??0，级数?n?1ann?收敛。
?1??9.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问???a?1?是否收敛？并说明理
n?1?n?1n???n由。
1211??11?xlndx。 10.已知1?2?2???[参见教材246页]，计算??1?x3580x 。
2
无穷级数例题选解
1.判别下列级数的敛散性：
??n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);??n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1
解：1）?sin1n2??，而?n?11n收敛，
由比较审敛法知 2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。
?)~1n(n??)，而?n?1?1n发散，
由比较审敛法的极限形式知
un?1un?n?1ln(1?1n)发散。
n3） ??lim?n???lim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?n???lim???，
n??n?1n!e??nnn??1，由比值审敛法知
?n?1n!n2收敛。
14） ??limnn??un4?2n?1??2n?1?n?lim?????， n??3n?29???3n?2??2n?1?2n?1?收敛。 ???1，由根值审敛法知 ???3n?2?n?1?2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
?
?n?1(?1)n?1n1；[n?]
3n?n?12??n?1ncosn3n2?；
?n?1(?1)n?11n?lnn。
解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，
?n?1由??lim?|un?1||un|n?1n???13，知级数?(?1)n?1?n32n绝对收敛，
n1[n?]条件收敛。 3n?2易知?(?1)n?11n条件收敛，故
2n?(?1)n?1n?12）|?ncosn322n|?n3?un，由??limun?1unn???13，知级数?n?1n32n收敛，
故?n?1ncosn3n绝对收敛。 13）记un?n?lnn，?un?1n1x?，而?n?11n?发散，故?un发散，
n?1令f(x)?x?lnx，f?(x)?1?，当x?1时，f?(x)?0，故f(x)在区间(1,??)内单
3
?调增加，由此可知 un?un?1，又m故?(?1ilun?0，)n??n?1n?11n?lnn收敛，但非绝对收敛，
即为条件收敛。
?(x?1)n3.求幂级数?的收敛区间。
n?1n?0解：收敛半径为 R?lim|n???anan?1|?limn?2n?1n???1，
当x?2时，得级数?n?01n?1?，发散； (?1)n当x?0时，得交错级数?n?0，收敛。
n?1所求收敛区间为[0,2)。
?4.证明级数?n?1n!nnnx当|x|?e时绝对收敛，当|x|?e时发散。
注：数列xn?(1?1n)单调增加，且limxn?e。
n??nn!(n?1)1??证：收敛半径 R?limn??lim?1???e，
n??nn??(n?1)!n??当|x|?e时幂级数绝对收敛，当|x|?e时幂级数发散，
?n?1n当|x|?e时，得级数?n?1n!nnn(?e)，|un|?n!nne，
n|un?1||un|?(1?e1n)n，因xn?(1?1n)单
n调增加，且limxn?e，故xn?e，于是得|un?1|?|un|，由此limun?0，故级数
n??n????n?1n!nn(?e)发散。
n
?5.在区间(?1,1)内求幂级数
??n?1xn?1n 的和函数。
解：设s(x)? s?(x)??n?1?xnnn?1 （?1?x?1），s(0)?0，
?x0?n?1x11?x，
s(x)?s(0)???s?(x)dx??x011?xdx??ln1(?x)，
?n?1xn?1n??xs(x)??xln1(?x) （?1?x?1）。
1(n?1)22n6.求级数?n?2的和。
4
?解：设s(x)??n?2x2?nn?1 （?1?x?1），则
s(x)???n?21?11?n???x，
2?n?1n?1?其中
?n?2xn?n?1?x?n?1?xn?n，
?n?2xnn?1??x1??x?x0xnn?3n1 （x?0）。 ，
设f(x)??n?1xnn，则f?(x)??n?1n?11?x1于是 f(x)?f(0)?从而 s(x)? ???x0f?(x)dx??1?xdx??ln1(?x)，
x2[?ln(1?x)]??1?x212x[?ln1(?x)?x?x22]
2?x4因此
?n?21(n?1)22n。 ln1(?x) （|x|?1,x?0）
2x153?s()??ln2。
2841an) （n?1,2,?）证明
?7.设a1?2,an?1?12(an?1）liman存在； 2）级数?(n??anan?1?1)收敛。
n?1证：1）因 an?1?12(an?121an)?1an?1an?1，
2an?1?an?(an?an)?an?1?an2ann???0，
故{an}是单调减少有下界的数列，所以liman存在。 2）由（1）知 0?nanan?1?1?an?an?1an?1?an?an?1，
?记sn??(ak?1k?ak?1)?a1?an?1，因liman?1存在，故limsn存在，所以?(an?an?1)收
n??n??n?1?敛，由比较审敛法知?(n?1anan?1?1)收敛。
?8.设an??40?tanxdx，
1n(an?an?2)的值；
?n3） 求?n?14） 试证：对任意的常数??0，级数?n?1ann?收敛。
2证：1） 因为
1n(an?an?2)?1n??40tanx(1?tanx)dx
n 5