?40n ?1?ntanxsecxdx?1(ak?ak?2)?n21n(n?1)n，
?1?1n?1 sn???kk?1?k(k?1)k?11，
所以
?n(an?11n?an?2)?limsn?1。
n??2） 因为 an?an?an?2??1n?1，所以
?ann??1n(n?1)??1n??1，
由??1?1知?n?11n??1收敛，从而?n?1ann?收敛。
?1?n?9.．设正项数列{an}单调减少，且?(?1)an发散，试问???a?1?是否收敛？并说明
n?1?n?1n???n理由。
?1??解：级数???a?1?收敛。
n?1?n??n理由：由于正项数列{an}单调减少有下界，故liman存在，记a?liman，则a?0。
n??n???若a?0，则由莱布尼兹定理知
11?(?1)n?1nan收敛，与题设矛盾，故a?0。
?n?1??收敛。 因为 lim??1，由根值审敛法知级数????n??a?1a?1n?1?an?1?n
1211??11?xlndx。 10．已知1?2?2???[参见教材246页]，计算??0x1?x358?解：由 ln(1?x)?得 ln1?x1?x1?n?1(?1)nn?1x （|x|?1），
?n?ln1(?x)?ln1(?x)?1?n?1(?1)nn?1?x?n?n?11n?xn?2?n?012n?1x2n?1
??11??2n?11?xx]dx?2?lndx?2?[??。 ?2?0x1?x42n?1(2n?1)?0n?0n?02
6
1??4（选作部分）11*．计算
5!?7?89!???3?解：由 sinx???(2n?1)!xn?0n2n?13!n(?1)??7!??11。 ??11!2n?1，
得 于是
?(2n?1)!?n?0?(?1)1?sin??0，
??(4n?1)!n?0?4n?1??(4n?3)!?n?014n?3，
1??4从而
5!?7?8?9!???1??n?0???4n?1(4n?1)!4n?3?33!??7!??1111!????1?n?0?。
(4n?3)!?12*.把f(x)?arctanx展开成 x 的幂级数，并求级数 解：f?(x)?11?x2??3n?0(?1)nn(2n?1) 的和。
??(?1)n?0nx2n （|x|?1），
x?n? f(x)?f(0)??x0f?(x)dx??[?(?1)0n?0?nx2n]dx??(?1)n?0nx2n?12n?1 （|x|?1），
因f(x)在点x??1处连续，而?(?1)n?0?x2n?12n?1在点x??1处收敛，
从而 f(x)???(?1)n?0nnx2n?12n?1? （|x|?1）。
n2n?1于是
?n?0?n3(2n?1)(?1)3?n?0?1??????2n?1?3?(?1)?3f(13)?36?
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