位所代表的人数，这两个值越大，对第i方越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能反应对第i方的不公平程度，增加的一席应分给Q值最大的一方。
练习题5
学校共1000名学生，235住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。
（1）
按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2） （3）
例5中的Q值法。
D. Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用1，2，3，??正整数相除，其商如下表
A B C 1 2 3 4 5 ?? 235 117.5 78.3 58.75 ?? 333 166.5 111 83.25 ?? 432 216 144 180 86.4 ?? 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5，这就是3个宿舍分配的席位，你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10人增至15人，分配名额如何改变。 例7磁带问题
当录音机的磁带转动时，两个绕带盘的
半径是变化的，一个半径增大，一个半径减 小，我们还知道磁带是匀速地通过磁头的， 即两绕带盘边缘的线速度是常数。试问：
磁带绕盘的半径与时间的关系。 设磁条厚度为a，转轮轴半径为R0，所 有磁条绕在一个轮上时的半径为R1,磁条通 1
过磁头时的线速度为v，放完磁带一面所需 的时间为T，开始时（t=0）磁条都绕在转轮
模型假设
1上，经过时间T，磁条都绕在转轮2上。
设t时刻转轮2的半径为R(t)（轴半径加上所绕磁条的总厚度），则有关系式：
R(t??t)?R(t)?v?t2?R(t)?a 令?t?0得
dR(t)vadt?2??1R(t) 解之得
12R2(t)?va2?t?C 注意到
R(0)=R0 于是
2
R2(t)?（*）
va?t?R02
此即转轮2的半径与时间的关系。
模型检验
由于磁条每圈长度是由2?R0均匀的增加至2?R1，所以每圈的平均长度为(2?R0?2?R1)??(R0?R1)，故放完磁带一面时的总圈数为
vaTvTvT，于是磁条总厚度为R1?R0?。?a，即R12?R02???(R0?R1)?(R0?R1)12这和利用（*）式得到的结果是一样的。
用类似的方法可得到转轮1的半径和时间的关系为 R2(t)?? 例8追线问题
我缉私舰雷达发现距c公里处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。 选取走私船逃跑方向为y轴方向，缉私舰在（c，0）位置发现走私船在（0，0）处，显然缉私舰、走私船的大小比他们运动的范围小得多，可视为两个质点。设从缉私舰发现走私船时算起的时间为t，走私船到达R=(0,at)点，缉私舰到D=(x,y)，因直线DR与路线相切，由几何关系得
dyy?at?tan??x dxdyx?y??at或 dx
va?t?R12
上式两端对x求导，有
d2ydtx2??adx dxds?bdt代入得到
dtdtds1dy????1?()2bdx dxdsdx其中的负号是因为s随x的减小而增大，于是
?d2ydy?x2?k1?()2?dxdx? ?y(c)?0,y?(0)?0
adyd2ydpk??p?2bdxdx，则上式可化为 dx其中上式不显含y，令及
dp
1?p2?kdxx
两端积分并利用初始条件：x=c时p=0,得到
xln(p?1?p2)?ln()kc
从而
要继续求y是x的怎样一个函数，必须进一步确定k。 （1） 若a c1x1?k1x1?kck(()?())?21?kc1?kc1?k2 ckabcy??2b2?a2,即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离当x=0时，1?ky?p?dy1xkc?(()?()k),y(c)?0dx2cx 为 abcybct??ab2?a2 b2?a2，所用的时间是 （2） 若a=b,即k=1,则 1x2?c2xy?(?cln)22cc 显然x不能取零值，缉私舰不可能追上走私船。 （3） 若x>b，即k>1,显然缉私舰不可能追上走私船。 练习题6 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言传播的数学模型。 （解答）设在t时刻听说此谣言的人数为N(t)，比例系数设为k，则有下列等式 1111N(t??t)?N(t)?k(???)N(t)(n?1?N(t))?t 2423两边同除以 ?t，在令?t?0得 N?(t)?7kN(t)(n?1?N(t)) 24考虑到N(0)?1，可得到 7k(n?1)t24N(t)?(n?1)en?e7k(n?1)t24 当t?0时，N(t)?n?1，即所有人都将听说这一谣言。 练习题7 某河有一小船已被水冲走，现要将其拉回岸边。已知水流速度为