u，拉绳子的速度为v，求小船在河中行驶的轨迹。
（解答）如图建立直角坐标系和极坐标系，其中 拉船的人群位于坐标系的原点（0,0），船被 冲走的瞬间位置在y轴上一点（0，h），
A （至于在其他位置并不影响建模和求解的
难度）
由于水流速度为u（方向向右），人拉绳 子的速度为v，方向总是指向原点，所以不难 建立如下的微分方程模型：
??u?vco?s?x ? （1）
?y??vsin??并有初始条件
r(0)?h,?(0)?利用直角坐标和极坐标之间的关系
?2或x(0)?0,y(0)?h （2）
?x?rcos? （3） ?y?rsin??（1）式变为
?sin??u?vcos??r?cos??r? （4） ???sin??r?cos???vsin??r从（4）中解出
???v??r?ucos?????usin? （5） ?r?（r?0）
由（5）得
drcos?v??r?r （6） d?sin?usin?（6）是一个可分离变量的微分方程，解之得
lnr??lnsin??再由（2）得??vln(csc??cot?)?C （C为任意常数） u?2时，r?h，可确定C?lnh，所以模型的解为
rsin??h(csc??cot?) （7）
评注：若在某一时刻T，船被拉到岸边（即原点），此时，r?0,??0，（7）式左端为0 ，（7）式右端因为
lim(csc??cot?)?lim??0vu1?cos??0
??0sin?而趋于0。另外，若u?0，则是在静水中，此时原方程退化为
??0?x ????v?y此时船被直线拉回。
练习题8
取n值容量相等的杯子，充满水，并且一只放在另一只下面排列。向第一只（即最高位置）杯子以常速度倒入与杯子容量相等的葡萄酒，溢出液体刚好流到第二只杯子，第二只杯子溢出液体流到第三只杯子??。假设水和葡萄酒的混和是瞬时发生。求在任意时刻t及过程结束时每只杯子所含葡萄酒量。
（解答）假设单位时间倒入的葡萄酒数量为m，则倒完一杯所用时间就是1/m，设
u1(t),u2(t),?,un(t)分别为n只水杯中t时刻所含的葡萄酒数量，则有
mm2m2u1(t??t)?u1(t)?m?t??t??t，注意到u1(0)?0所以u1(t)?t。
1?m1?m1?mm2?m:x， 另设在单位时间内有x数量的葡萄酒倒入第二只杯子，则按比例应有1:1?mm3m3m31?m?解之得x?，而从第二只杯子中流出去的葡萄酒数量是，于是 1?m1?m(1?m)2m3m3m4u2(t??t)?u2(t)??t??t??t，由于u2(0)?0，所以221?m(1?m)(1?m)m4m2nu2(t)?t。同理un(t)?t。 2n(1?m)(1?m)（15分）
过程结束时，每个水杯中的葡萄酒数量则分别为
1m1m31m2n?1 u1()?,u2()?,un()?m1?mmm(1?m)2(1?m)n
例9现有一风险投资机会，成功和失败的概率都是0.5。你每投资1美元，若成功，可以得到1.6美元的利润（注：原投资本金仍归还给你）；若失败，则损失1美元（注：仅失去投资额）。投资次数和投资额不限。你为了不把钱输光，采取了如下策略：总是拿你所持有的钱的一半去投资（注：若钱是可以无限可分的，你可以一直投资下去，不会破产）。你开始的资金是一百万美元。
在如此吸引人的投资环境中按照上述的投资策略其结果如何呢?具体说，平均说来你是赢还是输？如果你投资了10000次，你最后有多少钱？你有多大的可能在最后拥有的钱少于开始的一百万美元？
附：原文
《The Art of Decision-Mak-ing》
You know of a venture that succeeds half the time. For each invested $1, you make $ 1.60 when the venture succeeds; you lose $1.00 when the venture fails. You may invest as often as you like; you may risk as you please. To avoid that you lose all your money ,you adopt the following rule: Always invest exactly half the money in your possession. Suppose your starting capital were $1 000 000 .
What is the effect of combining such an attractive investment with this capital-preserving strategy? In particular, do you gain or lose money on average? If you invested in 10 000 ventures like this how much money would you have on average? How likely is it that you will have less than
the $1 000 000 with which you started when your 10 000th investment is completed?
直观上来看，这应是一个好的投资机会，投资者会发大财。依据如下：
设投资者初始资本为a元，经一次投资后的资本有两种可能： （1） 若成功，资本为a1=a+1.6(a/2)=1.8a （2） 若失败，资本变为a1=0.5a
一次投资后的资本期望值为E1=0.5(1.8a+0.5a)=1.15a
可以证明，第二次投资后的期望值为E2=1.152a,第三次投资后的期望资本值为E3=1.153a,??，以此类推，投资10000次后的资本期望值为E10000=1.1510000a元。这可是个天文数字，只要看1.15100=1174313>1000000,即投资100次后期望资本就大于10000亿元。若投资10000次，期望资本值将大于10606元。即使太阳系的每个分子都变成100元的人民币，恐怕也不能凑够这么多钱。
然而，细细分析，你会发现：由于投资的胜率为0.5，在10000次投资中赢和输的次数很可能都接近5000。由于在赢时，资本会由a变为1.8a；在输时，资本会从a变为0.5a。根据乘法的交换律和结合律，在胜负次数确定的情况下，投资胜负的顺序如何是没有关系的。
若假设总投资次数为N，胜负次数各半，投资N此后的资本额变为a(1.8)N/2(0.5)N/2=a(0.9)N/2.为了说明这一数值的大小，我们假设投资次数N=360,a=1000000,则可以得出：
a360=a(1.8)180(0.5)180=a(0.9)180=0.0058(元)
只剩下不到1分钱。
下面我们来进行分析
设N次中有n次赢，N-n次输，开始有a元，最后有aN=a(1.8)n(0.5)N-n
我们先考虑要使投资者不输，需要赢得次数： 要使aN=a(1.8)n(0.5)N-n>=a, 只需（1.8）n(0.5)N-n>=1 (1.8)n>=2N-n nlog1.8>=(N-n)log2 n>=Nlog2/(log3.6) 即n>=0.5411N
若n=10000，需要n>=5411才能保本或获利。然而，其概率微乎其微。在试验次数充分大时，我们可以用正态分布作为伯努力试验概率分布的近似估计。由于p=q=0.5,可知??Npq?50，成功次数大于5411的概率为：
P(n?5411)?P(x?8?x~N(0,?2))?10?15
为了理解次概率有多小，我们可以设想全世界有100亿人，每人有10万根头发，合计有1015。如果在某一个人的头上选一根头发，刻上记号，然后把所有人的头发剃下来，放在太平洋里均匀搅拌，再让一个人随机的抓一根头发，抓到的头发正好是预先做记号的那一根的概率就是你投资能保本或盈利的概率。换句话说，抓不到那根头发的概率就是你会赔本的概率。