二、二次函数中的存在性问题
1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时， △BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA； ① 若△BAP∽△AOB，如图1，
可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），
yBOAPM图1Bxy131326(,) 代入y??x?3x，可知m?，P1255252② 若△BAP∽△BOA，如图2，
m可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），
2111111代入y??x2?3x，可知m?，P2(,).
8416当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA； ③ 若△ABP∽△AOB，如图3，
可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m）， 代入y??x2?3x，可知m?PyMBOAPOAM图2xx图3y1，P3(2,2) 25m）， 2④ 若△ABP∽△BOA，如图4，
可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，代入y??x2?3x，可知m?
2.解：（1）由抛物线解析式y??yMBOAP151，P4(,) 224x图412?x?1??3可得B点坐标（1，3）. 4ABDFEP要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度. 过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F. 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.
OCGQx则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0） 可得BQ解析式为y=－x+4.
（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE=30°时，
a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K. 则可证△DCH∽△DEK.则
yABDKDHDC??3， DKDEOCPEDH?3.. 在矩形DHQK中，DK=HQ，则HQHQx
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，
BCCQ=3，此时，Q点坐标为（1+3,0） ?3∴
CQyADB则P点横坐标为1+3.代入y??912?x?1??3可得纵坐标.∴P（1+3,）. 44b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 9 由对称性可得此时点P坐标为（1－3,）
4② 当∠DCE=60°时，
a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.
PKEQOHyACxBDCNQDMDC1则可证△DCM∽△DEN.则， ??DNDE3在矩形DMQN中，DN=MQ，则
OMExDM1?. MQ3yPAB在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，
BC1?CQ3
NQDMOECx∴CQ=3BC=33，此时，Q点坐标为（1+33，0）. 则P点横坐标为1+33.代入y??P1512－可得纵坐标.∴P（1+,）. 33x?1?3??44b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
15） 4991515综上所述，P点坐标为（1+3,），（1－3,），（1+33,－）或（1－33,－）.
4444由对称性可得此时点P坐标为（1－33,－AB=BC=10，OB=8 ∴ A（6，0） 3．解：（1）∵在Rt△OAB中，OA=6 ∴将A（6，0），B（0，－8）代入抛物线表达式，得，y （2）存在： 如果△AMN与△ACD相似，则??110x?x?8 332yMN1MN?或?2 AN2ANONADx设M(m,?110m?m?8)（0 1557(m?6)(m?4)1∴m?∴M(,即3?) ?2246?m2如图2验证一下： yNOMADx12101MNm?m?8(m?6)(m?4) 当，即3?2时，33?2?2BAN6?m6?m ∴m??2（舍） 2）如果点M在x轴上方的抛物线上： C图21101MN111111?m2?m?8?(m?6)(m?4)11 ∴ ∴M当，即?时，3m?(,) 33??AN22246?m26?m211MN1111ACD ∴M(,)满足要求 此时MN?,AN? ∴? ∴△AMN∽△42AN2241101MN?m2?m?8?(m?6)(m?4) ∴m=10（舍） 当，即3?2时，33?2?2AN6?m6?m57111综上M1(,?),M2(,) 24244.解：满足条件坐标为：M1(3?6,0)M2(3?6,0)M3(?1?2,0)M4(?1?2,0) 思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线； (1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP； ∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2； ∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或－2 ①当点N的纵坐标为2时 解：x2?2x?3?2 得x?1?6 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： M1(3?6,0)、M2(3?6,0) ②当点N的纵坐标为－2时 解：x2?2x?3??2 得x?1?2 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： M3(?1?2,0)、M4(?1?2,0) (2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0） MN一定过AP的中点（0，－1） 则N5（－m，－2），N5在抛物线上 ∴m2?2m?3??2 m??1?2（负值不符合题意，舍去） ∴m??1?2 ∴M5(?1?2,0) 综上所述: 符合条件点P的坐标为：M1(3?6,0)M2(3?6,0)M3(?1?2,0)M4(?1?2,0) 5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可。 1Q(m?1,(m?1)2+(m?1)?2) N(m?1,m?1)M(m,m)P(m,0)由题知：，，， 2故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况： P MN图4yyyyQQOBBNMQOPABOMBNxPMNOxxAPxAAQ图1图2①如图1，PM12??m，QN?(m?1)?2，令PM=QN， 2图3解得：m1=?2+7（舍去），m2=?2?7； 1QN??(m?1)2+2，令PM=QN， PM??m②如图2，， 2解得：m1=3（舍去），m1=?3； 1QN??(m?1)2+2，令PM=QN， PM?m③如图3，， 2解得：m1=?2+7，m2=?2?7（舍去）； 1QN?(m?1)2?2，令PM=QN， ④如图4，PM?m， 2解得：m1=3，m1=?3（舍去）； 7、m2=?3、m3=?2+7、m4=3． 综上，m的值为m1=?2? 三、二次函数与几何综合 1. 解：（1）令x=0，则y=4， ∴点C的坐标为（0，4）， ∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称， 又∵抛物线y=ax2－5ax+4的对称轴是直线x??∴点B的坐标为（5，4），∴AC=BC=5， 在Rt△ACO中，OA=点A的坐标为A（?3，0）， AC2?OC2?3，∴5?5a5?，即直线x? 22a2∵抛物线y=ax2－5ax+4经过点A，∴9a+15a+4=0，解得a??1125， ∴抛物线的解析式是y??x?x?4 666（2）存在，M（522，） 23理由：∵B，C关于对称轴对称，∴MB=MC，∴MA?MB?MA?MC?AC； ∴当点M在直线AC上时，MA?MB值最大， 4???3k?b?0?k?设直线AC的解析式为y?kx?b，则?，解得?3，b?4???b?44∴y?x?4 3令x?y522522，则y?，∴M（，） 2323BO1Ax2、解：（1）∵抛物线y?ax2?2ax?b过点B（?1，0）， ∴a+2a－b=0，∴b=3a，∴y?ax?2ax?3a 令y=0，则x=?1或x=3，∴A（3，0），∴OA=3， 令x=0，则y=－3a，∴C（0，?3a），∴OC=3a ∵D为抛物线y?ax?2ax?3a的顶点，∴D（1，?4a） 过点D作DM⊥y轴于点M，则∠AOC=∠CMD=90°， 又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90° ∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴22CMDEFOAOC?， CMDMy∵D（1，?4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a BO1Ax CMD