高中数学组卷圆锥曲线方程2
一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C：
+
=1，（a＞b＞0）的离心率为
，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，
过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4
（1）求椭圆C的标准方程
（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤
≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，己知椭圆=1和圆x+y=4，过椭圆左顶点A的两条
22
直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F，若AC⊥AF，直线BE和CF在x轴上的截距分
别为s，t，求证：s+t为定值．3．设椭圆
2
+y=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于
A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1，、k2． （1）当PQ⊥x轴时，求（2）求证：k1?k2等于定值．
；
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4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x+y=a被直线x﹣y﹣
222
=0
截得的弦长为2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知k≠0，动直线y=k（x﹣1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得理由．
5．已知椭圆C：
（a＞b＞0）过点（1，
），它的两个短轴端点与右焦点构成等边
为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明
三角形，点A在椭圆C上运动，点B在直线l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O
为原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若点O到直线AB的距离为定值，求m的值及|AB|的最小值． 6．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为
，过点F
的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线x=﹣2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程． 7．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭
圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围． 8．已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为2
，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，
0），B（3，2），AC1⊥AC2． （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为
+
=1，直线l：y=x与椭圆E
相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．
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10．已知过点（
，
）的椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角
三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积． 11．（2005?福建）已知方向向量为v=（1，
）的直线l过点（0，﹣2
）和椭圆C：
+
=1=
（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
?
=
．cot∠MON≠0
（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．
12．（2005?黑龙江）P，Q，M，N四点都在椭圆
上，F为椭圆在y轴正半轴上的
焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值
和最大值．
22
13．（2005?湖北）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．
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14．（2004?天津）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若
，求直线PQ的方程．
=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和
15．（2004?贵州）双曲线
（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和曲线的离心率e的取值范围．
．求双
16．（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由． 17．（2002?北京）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点． （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线； （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
18．（2000?天津）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当范围．
所成的比为λ，
时，求双曲线离心率c的取值
19．（1999?广东）如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=﹣1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
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20．如图，已知椭圆C：
+
=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆
C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：
?
为定值．
21．（2006?山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．
22．（2006?北京）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭
．
圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=
（1）求椭圆的方程；
22
（2）若直线l过圆x+y+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程． 23．（2006?重庆）已知一列椭圆
．n=1，2…．若椭圆Cn上有
一点Pn，使Pn到右准线ln的距离dn是{pnFn}与{PnGn}的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点． （I）试证：（II）取
（n≥1）；
，并用Sn表示△PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＞Sn+1（n≥3）．
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